2020　関西大　文系学部2月3日実施MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3-x$と関数$g(x)=|x^3-x|$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$と$x$軸との共有点の$x$座標をすべて求めよ．

(2)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　実数$k$について曲線$y=g(x)$と直線$y=k$の共有点の個数$N$を調べよ．

【２】　平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の$$をうめよ．

　${\displaystyle \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{CD}}}=s\text{．}$${\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{EB}}}=t$とおくとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$s$で表すと

$\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\text{①}\overrightarrow{a}-\text{②}\overrightarrow{c}$

である．また，$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$で表すと

$\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\text{③}\overrightarrow{a}+(\text{④})\overrightarrow{c}$

である．これより$s\text{，}$$t$の値が

$s=\text{⑤}\text{，}$$t=\text{⑥}$

であることがわかる．このとき$\mathrm{▵CEF}$と$\mathrm{▵DBF}$の面積比は

$\mathrm{▵CEF}:\mathrm{▵DBF}=1:\text{⑦}$

である．

【３】　右図のような道のある町がある．次の$$をうめよ．

(1)　地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{C}$までの最短の道順は$\text{①}$通りであり，このうち地点$\mathrm{B}$を通らない最短の道順は$\text{②}$通りである．

(2)　地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{E}$までの最短の道順のうち，地点$\mathrm{D}$を通るものは$\text{③}$通りである．

(3)　地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{F}$までの最短の道順は$\text{④}$通りである．このうち，地点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の$2$つ以上を通らない最短の道順は$\text{⑤}$通りである．