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2020-14991-0901
2020 関西大学 全学部日程
法・文・経済・商・社会・政策創造・人間健康・総合情報・社会安全学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 3 次関数 f⁡ (x)= 13 ⁢x3+ a⁢x2+ b⁢x を考える.ここで a , b は実数の定数である.次の問いに答えよ.
(1) f⁡(x ) が極大値と極小値をもつための条件を a と b の不等式で表せ.
(2) f⁡(x ) が -1<x <1 において,極大値と極小値をもつとき,点 (a ,b) の存在する領域を所定の解答欄の座標平面上に図示せよ.そのとき,領域の境界線の方程式も書き入れること.ただし,その方程式の求め方は解答しなくてよい.
(3) (2)で図示した領域とその境界からなる図形の面積 S を求めよ.
2020-14991-0902
【2】 x>0 , y>0 , x2+y 2=64 とする.次の をうめよ.
(1) log12 ⁡y=log2 ⁡① であるから,
log12 ⁡y+log2 ⁡(x⁢y 2)=log 2⁡( ② )
である.これより, log12 ⁡y+log2 ⁡(x⁢y 2) は最大値 ③ をとり,そのときの x , y の値は x=y= 2 ④ である.
(2) x=8⁢cos⁡ θ, y=8⁢sin⁡ θ とおく. 0<θ< π4 のとき,
log2⁡( x-y)+ log2⁡( x+y)+ log2⁡(x ⁢y)
は θ を用いて
log2⁡( 2 ⑤⁢ sin⁡ ⑥ )
と表される.したがって, (x,y ) が円 x2 +y2=64 上の x>y >0 である部分を動くとき, log2⁡ (x-y) +log2⁡ (x+y) +log2⁡ (x⁢y ) は最大値 ③ をとり,そのときの θ の値は ⑦ である.
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【3】 次の を数値でうめよ.
平面上に三角形 ABC があり,各辺の長さは AB=4 , BC=8 , CA=6 である.三角形 ABC の外接円 K の中心を O とする. ∠BAC=θ とおくと, cos⁡θ= ① であるので,三角形 ABC は鈍角三角形であり, O は三角形 ABC の外部にあることがわかる.このときベクトル AB→ と AC→ の内積は, AB→⋅ AC→= ② である.また K の半径の長さを R とすると R= ③ である.
ここで
AO→=x ⁢AB→+ y⁢AC→
とおく. O が三角形 ABC の外心であることに注意して,次の内積を求めると
AO→⋅ AB→= ④ , AO→⋅ AC→= ⑤
である.これらを使って x , y を求めると x= ⑤ , y= ⑦ である.