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2021-10010-0101
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2021 旭川医科大学 前期
医学部(医学科)
易□ 並□ 難□
【1】 a>0 とし, f⁡(x )=x3 -3⁢a2 ⁢x とおく.このとき,次の各問いに答えよ.
問1 曲線 y=f ⁡(x ) が直線 y=- 1 に接するように定数 a の値を求めよ.また,このとき, -1<f⁡ (1)< 0 であることを示せ.
問2 4 点 (1 ,1) , (1,- 1), (-1, -1), (-1, 1) を頂点とする正方形の周を K とする.曲線 y=f ⁡(x ) と K との共有点の個数が,ちょうど 6 個となる定数 a の値の範囲を求めよ.
問3 曲線 y=f⁡ (x) の区間 -1≦ x≦1 における最大値を m とする. a がすべての正の値をとって変化するとき, a の値を横軸に m の値を縦軸にとって m のグラフの概形をかけ.また, m の最小値とそのときの a の値を求めよ.
2021-10010-0102
【2】 投げたときに表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨がある.この硬貨を同時に 2 枚投げて,表が出た枚数に応じて数直線上の点 P を正の方向へ動かす. 2 枚とも表が出たら 2 だけ移動し, 1 枚だけ表が出たら 1 だけ移動するものとし, 2 枚とも裏が出たら移動しないものとする.点 P の出発点を原点として,この試行を n 回くり返したとき,点 P の座標を 3 で割った余りが 0 である確率を an , 1 である確率を bn , 2 である確率を cn とする.このとき,次の各問いに答えよ.
問1 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 をそれぞれ求めよ.
問2 n≧1 のとき, an+1 , bn+1 , cn+1 をそれぞれ an , bn , cn を用いて表せ.
問3 漸化式 xn +1= 1+xn 4 (n =1, 2, 3, ⋯) を満たす数列 { xn} の一般項を x1 を用いて表せ.
問4 数列 {a n} の一般項を求めよ.
2021-10010-0103
【3】 p=0 , 1, 2, ⋯ とし, f⁡(x )=xp ⁢x (x ≧0) とおく.このとき,次の各問いに答えよ.
p=0 のとき, f⁡(x )=x とする.
問1 0≦x<x ′ のとき, f⁡(x )<f′ ⁡(x ) であることを示せ.
問2 曲線 y=f ⁡(x ) と直線 x=a , 直線 x=b および x 軸で囲まれる部分の面積 S を求めよ.ただし, 0≦a<b とする.
問3 次の不等式を証明せよ.ただし, n は正の整数とする.
22⁢ p+3⁢ np+1 ⁢n< ∑k=1 nkp ⁢k< 22⁢p+3 ⁢( n+1) p+1⁢ n+1
2021-10010-0104
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【4】 O を原点とする座標空間に, 3 点 A (1,-2 ,2), B (-1,- 3,1) , C (-1,0 ,4) がある.このとき,次の各問いに答えよ.
問1 ▵ABC の面積を求めよ.
問2 3 点 A , B , C を含む平面に O から垂線 OH を下ろす.このとき,点 H の座標を求めよ.
問3 ▵ABC の外接円を K とする.
(1) K の中心 J の座標を求めよ.
(2) 点 P が K 上を動くとき, OP2 の最大値を求めよ.