2021　筑波大学　推薦理工学群数学類

【１】　$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式

$x^2-2ax={\displaystyle {\int }_{-1}^1}|t-a|\mathit{dt}$

の解のうち$0$以上$1$以下であるものの個数を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{．}$$\mathrm{C}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$とする．辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ$x\text{．}$$y\text{，}$$z$とする．$\mathrm{▵ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$に対して$\mathrm{▵PAB}\text{，}$$\mathrm{▵PBC}\text{，}$$\mathrm{▵PCA}$の面積をそれぞれ$s\text{，}$$t\text{，}$$u$とする．また直線$\mathrm{CP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\mathrm{▵PAD}$と$\mathrm{▵PDB}$の面積の比を$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{D}$の位置ベクトルを$t\text{，}$$u$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$s\text{，}$$t\text{，}$$u$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の内心の位置ベクトルを$x\text{，}$$y\text{，}$$z$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　複素数平面上に$\mathrm{▵ABC}$がある，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を表す複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$は$3$次方程式$z^3-kz-1=0$を満たすとする．ここで$k$は実数とする．

(1)　次が成り立つことを示せ．

$\{\begin{array}{l}\alpha +\beta +\gamma =0\\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-k\\ \alpha \beta \gamma =1\end{array}$

(2)　$\mathrm{▵ABC}$は実細に関して対称であることを示せ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形であるような$k$の値をすべて求めよ．