2021　福井大学　後期

【１】　以下の問いにそれぞれ答えよ．

(1)　$2\cdot 4^x-7\cdot 2^{x+1}-16=0$を満たすような実数$x$の値を求めよ．

【１】　以下の問いにそれぞれ答えよ．

(2)　$3x-5y=7$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の中で積$xy$が最小となるものを$(x_0,y_0)$とおく．この$(x_0,y_0)$を求めよ．

【２】　以下の問いにそれぞれ答えよ．

(1)　次の$I$と$J$の値を求めよ．

$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^x\sin 3x\mathit{dx}$

$J={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^x\cos 3x\mathit{dx}$

【２】　以下の問いにそれぞれ答えよ．

(2)　$xyz$空間の$2$点$\mathrm{A}$$(1,-5,5)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,7,-1)$と$yz$平面上の点$\mathrm{C}$が一直線上にあるとき．$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2-8$および$C_2\text{：}y=x^2-4x+4k$がある．直線$l$は点$\mathrm{P}$で$C_1$に接し，点$\mathrm{Q}$で$C_2$に接するものとし，$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{R}$とおく．また，点$\mathrm{R}$を通り，$y$軸に平行な直線を$m$とし，$m$と$l$の交点を$\mathrm{M}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)　$l$の方程式および$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{M}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵PQR}$の面積$S$を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$および$l$で囲まれた部分の面積$D$を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は次の条件を満たしているとする．

$a_{n+2}(6a_{n+1}-a_n)$$=a_n(6a_{n+2}-a_{n+1})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

さらに，$a_1=1\text{，}$$a_2={\displaystyle \frac{1}{5}}$とする．このとき，任意の自然数$n$について，$a_n\ne 0$が成立し，$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくことができることを用いて，以下の問いに答えよ．

(1)　$b_{n+2}$を，$b_{n+1}$と$b_n$を用いて表せ．

(2)　$b_{n+2}-\alpha b_{n+1}=\beta (b_{n+1}-\alpha b_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$となる実数$\alpha \text{，}$$\beta$の組$(\alpha ,\beta )$のうち，$\alpha \geqq \beta$となるものを$1$組求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を，$n$を用いて表せ．