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2021-10550-0201
2021 京都工芸繊維大学 後期
易□ 並□ 難□
【1】 x の関数
f⁡(x )=(cos ⁡x)⁢ e2⁢sin ⁡x ( - π2≦x ≦π2 )
を考える. x⁣y 平面における y=f ⁡(x ) のグラフを C とおく.
(1) x⁣y 平面において, C と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(2) C 上の点 (- π4 ,f⁡(- π4 )) における C の接線の方程式を求めよ.
(3) 関数 f⁡ (x) の最大値を求めよ.
2021-10550-0202
【2】 x の関数
f⁡(x )=6⁢x -6⁢log⁡x -3⁢( log⁡x) 2-( log⁡x) 3 (x> 0)
を考える.
(1) f′⁡ (x) および f″ ⁡(x ) を求めよ.ただし, f′⁡ (x) , f″⁡ (x) はそれぞれ f⁡( x) の第 1 次,第 2 次の導関数である.
(2) 正の実数 x に対して,不等式 f⁡( x)≧f⁡ (1) が成り立つことを示せ.
(3) (2)の不等式を用いて,極限 limx →∞ (log⁡x )2x を求めよ.
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【3】 x⁣y 平面において, x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点とよぶ.
(1) 実数 x , y に対し,実数 k , l をそれぞれ次の等式
5⁢x+4⁢ y=k , 3⁢x+2 ⁢y=l
によって定めるとき,次の 2 条件(ⅰ).(ⅱ)は同値であることを示せ.
(ⅰ) x, y はともに整数である.
(ⅱ) k, l はともに偶数であるか,または k , l はともに奇数である.
ただし, 2 で割り切れる整数を偶数とよび, 2 で割り切れない整数を奇数とよぶ.
(2) n を自然数とする. x⁣y 平面において,連立不等式
{ 0≦5⁢x+ 4⁢y≦n 0≦3⁢x +2⁢y≦n
の表す領域を Dn とする. Dn に含まれる格子点の個数を, n を用いて表せ.
2021-10550-0204
【4】 a, b を実数とし, a, b, および 1-a -b はすべて正であるとする.サイコロが 1 個あり, 1 の目が出る確率は a であり, 2 の目が出る確率は b であり, 3, 4, 5, 6 のいずれかの目が出る確率は 1-a- b であるとする.箱 A に球がいくつか入っており,それぞれの球は黄球,赤球,白球のいずれかであるとき,この箱 A に対する次の操作(*)を考える:
(*) { 空の袋を用意し,箱 A の中のすべての球をその袋に移して まず箱 A を空にし,次にその袋に入っているそれぞれの球 について,次の(ⅰ),(ⅱ)を行う. (ⅰ) その球の色が黄ならサイコロを振り,1 の目が出れば 黄球 2 個を箱A に入れ,2 の目が出れば赤球 1 個を箱A に 入れ,それら以外の目が出れば黄球 1 個を箱A に入れる. (ⅱ) その球の色が赤または白なら,白球 1 個を箱A に入れる.
最初に黄球 1 個のみが入っている箱 A に対し操作(*)を 3 回行った直後に箱 A に入っている黄球,赤球,白球の個数を,それぞれ Y , R, W と表す.ただし, 2 回目以降の操作(*)は,その直前に行った操作(*)により得られた箱 A に対し行うものとする.
(1) W=2 となる確率 p1 を求めよ.
(2) W≧1 となる確率 p2 を求めよ.
(3) R≧3 となる確率 p3 を求めよ.