2021　佐賀大学　後期

【１】　さいころを何回か投げて，出た目の最大値を得点とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$3$回投げたとき，得点が$4$以上になる確率を求めよ．

(2)　$3$回投げたとき，得点が$4$になる確率を求めよ．

(3)　$3$回投げたときの得点が$4$以上であったとき，もう$1$回さいころを投げて，得点が$1$以上増える確率を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　実数$x\text{，}$$y$が$2x+y=1$をみたすとき，$2x^2+y^2$の最小値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(2)　実数$x\text{，}$$y$が$2x^2+y^2=1$をみたすとき，$2x+y$の最大値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(3)　実数$x\text{，}$$y$が$2x^2+y^2=1$をみたすとき，$xy$の最大値とそのときの$x\text{．}$$y$の値を求めよ．

【３】　$a$を定数とする．

$y=\cos \theta +a\cos 2\theta +\cos 3\theta$

について，次の問に答えよ．

(1)　$t=\cos \theta$とするとき，$\cos 2\theta$と$\cos 3\theta$を$t$を用いて表せ．また，$y$を$t$の関数として表せ．

(2)　(1)の$t$に対して，$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$で$y$が極値をとるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　(2)の$a$に対して，${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq \pi$の範囲における$y$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{e^x-x}}$

$g(x)=(2-x)e^x-x$

について，次の問に答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して，不等式

$(1-x)e^x\leqq 1$

が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つときの$x$の値を求めよ．

(2)　(1)を用いて，方程式$g(x)=0$が実数解をただ一つもつことを示せ．また，その実数解を$\alpha$とおくとき，$1<\alpha <2$であることを示せ．

(3)　$\alpha$を(2)で定めた実数とする．このとき，関数$f(x)$の極大値を$\alpha$の分数式で表せ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする平面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=5$とし，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$は垂直であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表すとき，$t$を$s$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$3$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が同一直線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　(2)において，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{BN}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BN}$を求めよ．