2021　東京都立大　前期MathJax

【１】　$k$を$-1<k<3$をみたす実数とする．放物線$y=x^2$と直線$y=2x+k$の交点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$とする．点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸の交点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の長さを$k$を用いて表しなさい．

(2)　$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\mathrm{P}$$(1,5)$を頂点とする三角形の面積$S(k)$を求めなさい．

(3)　${\{S(k)\}}^2$が最大となる$k$の値を求めなさい．

【２】　平面上に$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CA}=6$となる$\mathrm{▵ABC}$を考える．$\mathrm{\angle BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$t$を$0<t<1$をみたす実数とし，辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\cos \mathrm{\angle BAC}$を求めなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

(3)　$\mathrm{▵APC}$の面積を求めなさい．

(4)　$\mathrm{▵AQR}$の面積と$\mathrm{▵RPC}$の面積の比が$3:2$となる$t$の値を求めなさい．

【３】　$\theta$を$0\leqq \theta <2\pi$をみたす実数とし，

$f(x)=(x-\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta )$$\times (x^2-(2\sin \theta )x-2{\cos }^2\theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\cos \theta +{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+1)$

とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)　方程式$f(x)=0$が実数解と虚数解の両方を持つ$\theta$の範囲を求めなさい．

(2)　$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，方程式$f(x)=0$の実数解$\alpha$のとりうる値の範囲を求めなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$n$を自然数とする．$2^{3n}$を$7$で割ったときの余りが$1$であることを数学的帰納法を用いて示しなさい．

(2)　$s$を自然数とする．初項$2^{49}\text{，}$公比${\displaystyle \frac{s^2}{2}}$の等比数列を$\{a_n\}$とするとき，

$(s^2-2){\displaystyle \sum _{n=1}^{50}}{a}_n$

を求めなさい．

(3)　$3^{100}$を$7$で割ったときの余りを求めなさい．

【１】　正方形$\mathrm{BCDE}$を底面とし，辺の長さがすべて$1$である四角錐$\mathrm{A‐BCDE}$を考える．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}\text{，}$$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$とする．辺 $\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{DE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$t$は$0<t<1$をみたす実数であるとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{．}$$\overrightarrow{b}\text{．}$$\overrightarrow{d}\text{，}$$t$を用いて表しなさい．

(2}　内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$\mathrm{▵APQ}$の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．

(4)　$\mathrm{▵APQ}$の面積$S$が最小となる$t$の値を求め，そのときの$S$の値を求めなさい．

【２】　$a$を正の実数とする．関数

$f(x)={(\log x)}^2+2a\log x$$\text{（}x>0\text{）}$

に対し，以下の問いに答えなさい．ただし，$\log x$は自然対数とする．

(1)　$f(x)$の最小値と，そのときの$x$の値を求めなさい．

{2}　$y=f(x)$のグラフの凹凸を調べ，変曲点を求めなさい．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めなさい．

(4)　$y=f(x)$のグラフの変曲点が$x$軸上にあるとする．このとき，$a$の値を求め，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　実数$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にあり．$\sin 2\theta =\sin 3\theta$をみたすとする．$\cos \theta$の値を求めなさい．

{2}　関数$f(x)=3\cos 2x-2\cos 3x$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最大値と最小値を求めなさい．

(3)　(2)で$f(x)$が最大値と最小値をとる$x$の値をそれぞれ求めなさい．

【１】　$\alpha$を$\alpha >1$をみたす有理数とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\beta$を$\beta >0$をみたす有理数とし，$t\text{，}$$u$を$0<t<u$をみたす実数とする．このとき，$t^{\beta }<u^{\beta }$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$t$を正の実数とする．このとき，$1+t^{\alpha }<{(1+t)}^{\alpha }$が成り立つことを示しなさい．

(3)　$x\text{，}$$y$を正の実数とする．このとき，$x^{\alpha }+y^{\alpha }<{(x+y)}^{\alpha }$が成り立つことを示しなさい．

(4)　$n$を$2$以上の自然数とし，$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$を正の実数とする．このとき，

$x_1^{\alpha }+x_2^{\alpha }+\cdots +x_n^{\alpha }<{(x_1+x_2+\cdots +x_n)}^{\alpha }$

が成り立つことを示しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数として，$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とおき，$P(-1+i)=0$であるとする．ただし，$i$は虚数単位とする．

(ⅰ)　$b$および$c$を$a$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$P(-1-i)=0$となることを示し，$P(x)=0$のすべての解の実部が負となるための条件を，$a$を用いて表しなさい．

(2)　$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を実数として，$Q(x)=x^3+s{x}^2+tx+u$とおき，$Q(-1)=0$であるとする．このとき，$Q(x)=0$のすべての解の実部が負となるための条件を，$t$および$u$を用いて表しなさい．

【３】　$p$を実数とし，座標平面において

$C\text{：}4x^2-y^2=1\text{，}$$l\text{：}y=px+1$

によって与えられる双曲線$C$と直線$l$を考える．$C$と$l$が異なる$2$つの共有点をもつとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$p$の範囲を求めなさい．

(2)　$C$と$l$の共有点を${\mathrm{P}}_1$$(x_1,y_1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(x_2,y_2)$とする．ただし，$x_1<x_2$であるとする．このとき，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の中点の座標を求めなさい．

(3)　$C$の$2$つの漸近線と$l$の交点を${\mathrm{Q}}_1$$(x_3,y_3)\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$$(x_4,y_4)$とする．ただし，$x_3<x_4$であるとする．このとき，線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の中点の座標を求めなさい．

(4)　(2)の${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$および(3)の${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$に対し，${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1={\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2$が成り立つことを示しなさい．