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2021-11546-0101
2021 京都府立大学 前期
生命環境(環境・情報科学科)学部
配点100点
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) 31 が素数であることを,背理法を用いて証明せよ. 3, 5, 7 が素数であることは用いてよい.
(2) Cr 31 (r =1, 2, ⋯, 30) を 31 で割った余りは 0 であることを,背理法を用いて証明せよ.
(3) すべての自然数 n に対して n31 -n を 31 で割った余りは 0 であることを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
2021-11546-0102
【2】 数列 { an} を
a1=1 , an+1 =an+ 1an 2 (n =1, 2,3 ,⋯ )
で定める.以下の問いに答えよ.
(1) n が 2 以上の自然数のとき, ∑ k=2n 1k <log⁡n が成り立つことを示せ.
(2) n が 2 以上の自然数のとき, ∑ k=2n 1k 2<1 が成り立つことを示せ.
(3) n が 2 以上の自然数のとき, an3 >3⁢n が成り立つことを示せ.
(4) a243 の値の整数部分が 9 であることを示せ.
2021-11546-0103
【3】 s>0 , t>0 とする. O を原点とする x⁣y ⁣z 空間内に 4 点 A (3, 0,0) , B (0,3 ,0) , C (0,0, 1), P (s,t, 2) がある. A , B , C の定める平面を α とする. P から α に垂線 PH を下ろす. H の x 座標, y 座標, z 座標がすべて正または 0 のとき,以下の問いに答えよ.
(1) 平面 α の方程式を求めよ.
(2) H の座標を s , t を用いて表せ.
(3) |PH →| の最大値を求めよ.
(4) |PH →| が最大値をとるときの,四面体 ABCP の体積を求めよ.
2021-11546-0104
【4】 p>0 , q を実数とする. x⁣y 平面上に点 P (p,q ) および曲線 C: y=x3- 12⁢x+1 がある.以下の問いに答えよ.
(1) t を実数とする. C 上の点 (t ,t3-12 ⁢t+1 ) における C の接線の方程式を求めよ.
(2) C に P から引いた 3 本の接線が相異なるとき, q が満たすべき条件を p を用いてすべて表せ.
(3) P が C 上にあり, P を通る C の接線と C との接点を点 R とする. R の x 座標が負のとき, C と C の接線で囲まれた部分の面積を p を用いて表せ.
2021-11546-0105
生命環境(生命分子化,森林科学科)学部
(1)〜(3)で配点60点
(1) x⁣y 平面において,不等式 |3 ⁢x-y| +|3⁢x +2⁢y| ≦3 の表す領域を D とする.点 ( x,y) が D を動くとき, 11⁢x+2 ⁢y の最小値を求めよ.
2021-11546-0106
(2) x, y を整数とする. x2−4 ⁢x⁢y+7 ⁢y2+ y-14=0 を満たす x と y の組 (x ,y) をすべて求めよ.
2021-11546-0107
(3) 数列 { an} が a1 =6, an+1 =3⁢an +3n+ 2 のとき,一般項 an と ∑k=1 nak の和を求めよ.
2021-11546-0108
配点70点
【2】 ▵OAB の辺 OA , AB , BO の上にそれぞれ点 P , Q , R があり, ▵OAB の重心と ▵PQR の重心が一致する.辺 OA , AB, BO を 3: 1 に内分する点をそれぞれ A 1, B1 , C1 とし,辺 A 1B1 , B1 C1 , C1 A1 を 3: 1 に内分する点をそれぞれ A 2, B2 , C2 とする. OA→= a→ , OB→= b→ および OP→ =s⁢ a→ (0 ≦s≦1 ) とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) a→+ b→ を OP→ , OQ→ , OR→ を用いて示せ.
(2) OQ→ と OR → をそれぞれ a →, b→ , および s を用いて表せ.
(3) B2 C2 → と PR→ が平行であるとき s の値を求めよ.
(4) ▵OAB と ▵ A2 B2 C2 の面積比を求めよ.
2021-11546-0109
【3】 a, p を実数とする. x⁣y 平面上に,曲線 C1 :y=-2 ⁢x2 , 曲線 C2 :y=- (x-a) 2 がある. C1 を x 軸方向に 2 , y 軸方向に -4 平行移動した曲線を C3 とする. C1 と C3 の両方に接する直線を l とする. C1 と C3 の交点の x 座標を p とする. C1 , C3 および l で囲まれた部分の面積を S1 とする. C2 , 直線 x=p および x 軸で囲まれた部分の面積を S2 とする.以下の問いに答えよ.
(1) l の方程式を求めよ.
(2) S1 の値を求めよ.
(3) S1= S2 となる a の値を求めよ.