2021　大阪府立大学　中期MathJax

(1)　自然数$n$に対して，積$AB$と積$CD$の公約数のうち，ひとつが$n$となる確率を$P_n$で表す．このとき，$P_2\text{，}$$P_3\text{，}$$P_6$を求めよ．

(2)　積$AB$と積$CD$が互いに素になる確率を求めよ．

（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{2}^{k-1}{x}_k=8-5n$

を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x_1$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$に対して$x_n$を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{x}_n$の和を求めよ．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{x}_n\sin {\displaystyle \frac{n\pi }{2}}$の和を求めよ．

（(1)，(2)，(3)，(4)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sin x}}+{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$

と定める．ただし，$x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$x\ne \pi \text{，}$$x\ne {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$a$は正の定数とする．このとき，方程式$f(x)=a$が異なる$4$個の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

(3)　$\sin x+\cos x\ne 0$である$x$について，

$X=\sin 2x\text{，}$$Y={\displaystyle \frac{f^{″}(x)}{\sin x+\cos x}}$

とおく．このとき，$Y$を$X$の式で表せ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$g(x)={\displaystyle \frac{(1-\log x)\log x}{x}}$

以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=g(x)$と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．

(2)　関数$g(x)$の極大値を与える$x$の値を求めよ．

(3)　関数$g(x)$の極小値を与える$x$の値を求めよ．

(4)　曲線$y=g(x)$の変曲点の$x$座標を求めよ．

（(1)，(2)，(3)，(4)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　$0<t\leqq 1$のとき，$h(t)$を求めよ．

(2)　$2\leqq t<3$のとき，$h(t)$を求めよ．

(3)　$T$の値を求めよ．

(4)　$\underset{t\to T-0}{\lim }{\displaystyle \frac{h(t)-h(T)}{t-T}}$を求めよ．

(5)　$\underset{t\to T+0}{\lim }{\displaystyle \frac{h(t)-h(T)}{t-T}}$を求めよ．

(6)　関数$h(t)$が微分可能でない$t$をすべて求めよ．

（(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)については計算の過程を記入しなくてよい．）