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2021-11621-0201
2021 奈良県立医科大学 後期医学部
医学科
易□ 並□ 難□
【1】 a を正の実数定数とし,曲線
C1 :y=a ⁢sin⁡ (x ) ( 0≦x≦ π )
と曲線
C2 :y= e-x ( 0≦x≦ π )
とを定める.ただし, e は自然対数の底を表す.
(1) 曲線 C 1 と曲線 C 2 とが共有点 P をもち,かつ P において共通の接線をもつとき, P の座標,および a の値を求めよ.
(2) (1)において,曲線 C 1 と曲線 C2 , および y 軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
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【2】 正の実数 a , b , c , d は以下の条件をみたすとする.
・ a⁢d- b⁢c≠ 0 .
このとき, 2 次方程式 c⁢ x2+ (d- a)⁢ x-b= 0 は相異なる 2 個の実数解 α , β (ただし, α>β ) を持つ.また,任意の正の実数 u >0 に対して,数列 { xn} n=1 , 2, ⋯ を以下の漸化式で定める:
x1 =u , xn+ 1= a⁢ xn+ bc⁢ xn+ d ( n=1 ,2 ,⋯ ).
(1) a-c⁢ β≠0 を証明せよ.
(2) 任意の正整数 n について, xn≠ β であり,かつ,任意の正整数 n に対して,
yn = xn- αx n-β
とおくと,数列 {yn } n=1 ,2 ,⋯ は等比数列になることを証明せよ.
(3) 任意の正の実数 u に対して,数列 {xn } n=1 ,2 ,⋯ は n →∞ のとき収束することを示し,その極限値を求めよ.
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【3】 正整数 a , b の最大公約数を ( a,b ) で表す.
(1) 任意の正整数 m , n に対して,等式
(m+ n,n) =(m ,n)
が成り立つことを証明せよ.
(2) 互いに素な正整数 m , n に対して, (m+ n-1) ! は m !⁢n! によって割り切れることを証明せよ.
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【4】 k を正整数, m1 , m2 , ⋯ , mk を正の実数,さらに m , r を正整数とする.
(1) 集合 T を
T={ ∑i= 1k ai⁢ mi| a1 ,a2 , ⋯ ,ak は整数, かつ任意の 1≦i≦ kに対して ai ≧0 }
と定義する. β を実数とする.このとき,正の実数 γ が存在し,以下の条件 ( F) をみたすことを証明せよ.
-条件 (F ): x∈T について x >β ならば, x-β ≧γ .
(2) 集合 S を
S={ ∑ i=1 k ai⁢ mir | a1 ,a2 , ⋯ ,ak は整数, かつ任意の 1 ≦i≦k に対して ai ≧-m }
と定義する.このとき,正の実数 h が存在し,以下の条件 (M ) をみたすことを証明せよ.
-条件 (M ): x∈S , x>0 ならば x ≧h .