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【3】 観測点を分間に通過した車の台数を交通量(台分),観測点付近あたりに車が何台あるかを示す量を密度(台密度の増加とともに交通量が減少する状態を渋滞,および交通量が最大になるときの密度を臨界密度という.右図は,交通量と密度の関係を示した散布図である.このとき,以下の問いに答えよ.
問1 図から読み取った臨界密度を用いて,交通量が最大となるときの車間距離を求めよ.また,車間距離がどのようなときに渋滞が発生しているか述べよ.ただし,車長はとし,車間距離はどの車の間でも同じとする.
問2 車の平均時速を車間距離と交通量を用いて表せ.また,図から読み取った最大交通量を用いて,最大交通量のときの車の平均時速を求めよ.
問3 図から,渋滞していない場合と渋滞している場合のどちらも,密度と交通量の間にはおおまかに次関数で表される関係が読み取れる.これを踏まえ,渋滞していない場合と渋滞している場合のそれぞれについて,平均速度と車間距離の関係を述べよ.
【4】 南北に流れている川がある.狼と羊を連れ,キャベツを持った農夫が東岸にいる.その東岸にはの小舟がある.以下のつの条件(A)〜(D)を満たしつつ,狼,羊,キャベツのすべてを西岸に渡すことを考える.
(A) 小舟を漕げるのは農夫のみである.
(B) 小舟には,農夫のほかは,狼か羊かキャベツのいずれかのみ乗せることができる. ただし,乗せなくてもよい.
(C) 農夫がいないと狼が羊を食べてしまうため,狼と羊が同じ岸にいて農夫がその岸に いない状態は避ける.
(D) 農夫がいないと羊がキャベツを食べてしまうため,羊とキャベツが同じ岸にいて農 夫がその岸にいない状態は避ける.
ただし,キャベツに対しても「いる」,「いない」と表現することにする.
東岸の状態を次のようなとの並び(ビット列)で表す.農夫,狼,羊,キャベツの各々に対して,東岸にいれば値を,いなければ値を割り当てる.右から桁目をキャベツの値,桁目を羊の値,桁目を狼の値,桁目を農夫の値とした桁のとの並びで状態を表す.例えば,は東岸に農夫と羊がいて西岸に狼とキャベツがいる状態を表す.また,すべてが東岸にいる状態を初期状態,すべてが西岸に渡った状態を終了状態という.このとき,以下の問いに答えよ.
問1 条件(C),(D)を満たす状態を初期状態と終了状態を含めてすべて求めよ.
問2 条件(C),(D)を満たす状態のうち,その状態から農夫のみが移動したとき,条件(C),(D)を満たさなくなるようなものをすべて求めよ.
問3 状態に対して,回の小舟での渡河で状態から状態に移るとき,からに状態遷移するという.条件(A)〜(D)を満たしつつ,初期状態から終了状態に至るまでの状態遷移の回数を最も少なくなるようにするにはどうすればよいかを述べよ.