2021　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】　$t$を実数とし，座標平面上の直線$l\text{：}(2t^2-4t+2)x$$-(t^2+2)y$$+4t$$+2$$=0$を考える．

(1)　直線$l$は$t$の値によらず，定点を通る．その定点の座標は$\text{(ア)}$である．

(2)　直線$l$の傾きを$f(t)$とする．$f(t)$の値が最小となるのは$t=\text{(イ)}$のときであり，最大となるのは$t=\text{(ウ)}$のときである．また，$a$を実数とするとき，$t$に関する方程式$f(t)=a$がちょうど$1$個の実数解をもつような$a$の値をすべて求めると，$a=\text{(エ)}$である．

(3)　$t$が実数全体を動くとき，直線$l$が通過する領域を$S$とする．また，$k$を実数とする．放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-k)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{(k-1)}^2$が領域$S$と共有点を持つような$k$の値の範囲は$\text{(オ)}\leqq k\leqq \text{(カ)}$である．

【２】(1)　複素数$\alpha$は${\alpha }^2+3\alpha +3=0$を満たすとする．このとき，${(\alpha +1)}^2{(\alpha +2)}^5=\text{(キ)}$である．また，${(\alpha +2)}^s{(\alpha +3)}^t=3$となる整数$s\text{，}$$t$の組をすべて求め，求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい．

(2)　多項式${(x+1)}^3{(x+2)}^2$を$x^2+3x+3$で割ったときの商は$\text{(ク)}\text{，}$余りは$\text{(ケ)}$である．また，${(x+1)}^{2021}$を$x^2+3x+3$で割ったときの余りは$\text{(コ)}$である．

【３】　$n$を自然数とする．$1$個のさいころを繰り返し投げる実験を行い，繰り返す回数が$2n+1$回に達するか，$5$以上の目が$2$回連続して出た場合に実験を終了する．下の表は，$n=2$の場合の例である．例$\mathrm{a}$では，$5$以上の目が$2$回連続して出ず，$5$回で実験を終了した．例$\mathrm{b}$では，$5$以上の目が$2$回連続して出たため，$3$回で実験を終了した．

この実験において，$A$を「$5$以上の目が$2$回連続して出る」事象，非負の整数$k$に対し$B_k$を「$5$未満の目が出た回数がちょうど$k$である」事象とする．一般に，事象$C$の確率を$P(C)\text{，}$$C$が起こったときの事象$D$が起こる条件付き確率を$P_C(D)$と表す．

(1)　$n=1$のとき，$P(B_1)=\text{(サ)}$である．

(2)　$n=2$のとき，$P_{B_2}(A)=\text{(シ)}$である．

以下，$n\geqq 1$とする．

(3)　$P_{B_k}(A)=1$となる$k$の値の範囲は，$0\leqq k\leqq K_n$と表すことができる．この$K_n$を$n$の式で表すと$K_n=\text{(ス)}$である．

(4)　$p_k=P(A\cap B_k)$とおく．$0\leqq k\leqq K_n$のとき，$p_k$を求めると$p_k=\text{(セ)}$である．また，$S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{K_n}}k{p}_k$とおくと$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\text{(ソ)}$である．

【４】(1)　$a$は$0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす定数とする．$x\geqq 0$の範囲で不等式

$a(x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}})\leqq \log (1+ax)$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　$b$を実数の定数とする．$x\geqq 0$の範囲で不等式

$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x)\leqq bx$

が成り立つような$b$の最小値は$\text{(タ)}$である．

(3)　$n$と$k$を自然数とし，

$I(n,k)=\underset{t\to +0}{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{\frac{k}{n}}}{\displaystyle \frac{\log (1+{\displaystyle \frac{1}{2}}tx)}{t(1+x)}}\mathit{dx}$

とおく．$I(n,k)$を求めると，$I(n,k)=\text{(チ)}$である．また

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}I(n,k)=\text{(ツ)}$

である．

【５】　座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を通り，$\overrightarrow{u}=(\cos \theta ,\sin \theta )$を方向ベクトルとする直線を$l$とおく．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．直線$l$の法線ベクトルで，$y$成分が正であり，大きさが$1$のベクトルを$\overrightarrow{n}$とおく．点$\mathrm{P}$$(1,1)$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{n}$と表す．$a=\cos \theta \text{，}$$b=\sin \theta$として，$s\text{，}$$t$のそれぞれを$a\text{，}$$b$についての$1$次式で表すと$s=\text{(テ)}\text{，}$$t=\text{(ト)}$である．

点$\mathrm{P}$$(1,1)$から直線$l$に垂線を下ろし，直線$l$との交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$が直線$l$上にあるときは，点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{P}$とする．以下では，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$\theta =\text{(ナ)}$のとき最大となる．

さらに，点$\mathrm{R}$$(-3,1)$から直線$l$に垂線を下ろし，直線$l$との交点を$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{R}$が直線$l$上にあるときは，点$\mathrm{S}$は$\mathrm{R}$とする．

(3)　線分$\mathrm{QS}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{T}$とおく．$\theta$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{T}$$(x,y)$がえがく軌跡の方程式は$\text{(ニ)}=0$である．

(4)　${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{RS}}^2$の最大値は$\text{(ヌ)}$である．