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2021-14991-1201
2021 関西大学 全学日程総合情報学部
2月6日実施
易□ 並□ 難□
【1】 整式 f⁡ (x) , g⁡(x ) が x2 ⁢f⁡( x)=( x+2) ⁢g⁡( x) を満たしている. f⁡(x ) が 2 次式 a⁢ x2+b⁢ x+c であるとき,次の問いに答えよ.
(1) 2⁢b=4 ⁢a+c が成り立つことを示せ.
(2) g⁡(x ) を x+ 2 で割った余りが 4 であるとき, b, c それぞれを a を用いて表せ.
(3) (2)のとき, 2 曲線 y=f ⁡(x ), y=g⁡ (x) の共有点がちょうど 2 つとなるときの a の値を求めよ.また,そのときの y= f⁡(x ) と y=g ⁡(x ) で囲まれる部分の面積を求めよ.
2021-14991-1202
【2】 ▵ABC において ∠A , ∠B, ∠C の大きさをそれぞれ A , B, C で表す.次の問いに答えよ.
(1) cos⁡C= sin2⁡ A+B 2-cos 2⁡ A+B2 であることを加法定理を用いて示せ.
(2) cos⁡A+cos ⁡B+cos⁡ C>1 であることを示せ.
(3) A=B のとき, cos⁡A+cos ⁡B+cos⁡ C の最大値を求めよ.また,そのときの A , B, C の値を求めよ.
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【3】 次の をうめよ.
空間に 3 点 A (a,0 ,0) , B (0,b ,0) , C (0,0 ,c) がある.ただし a⁢b ⁢c≠0 とする. O を原点とするとき, 3 点 A , B , C を通る平面 π 上の点 P で OP が π と直交するものを求めよう. P は π 上の点なので AP →=s⁢ AB→+ t⁢AC→ となる実数 s , t がある.このとき OP → と AB → , AC→ との内積を s , t を用いて表せば,それぞれ OP →⋅ AB→= ① , OP→ ⋅AC→ = ② となる. OP→ は π と直交するから, OP→⋅ AB→= 0 および OP →⋅AC →=0 が成り立つ. a=1 , b=2 , c=3 のときに,この 2 式から s , t を求めると, s= ③ , t= ④ が得られ,従って P の座標は ⑤ である.
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【4】 n 本 (n ≧7 ) のくじの中に 5 本の当たりくじがある. n 本のくじから同時に 2 本を引くとき,次の をうめよ.
(1) 2 本とも当たりである確率は ① である.
(2) 1 本だけ当たりである確率は ② である.
(3) 2 本とも当たりである確率と 2 本ともはずれである確率が同じであった.このとき, n の値は ③ である.
(4) 少なくとも 1 本が当たりである確率が 7 9 であった.このときの n の値は ④ である.
(5) 2 本ともはずれである確率が 1 本だけ当たりである確率よりも大きくなるときの最小の n の値は ⑤ である.