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2021-14991-1501
2021 関西大学 推薦システム理工(数学科)学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の をうめよ.
(1) 方程式 2 ⁢x2 +x⁢y- 6⁢y2 +17= 0 を満たす自然数 x , y の組を求めると, (x, y) = ① である.
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(2) 0<x< π2 , cos⁡x= 513 , π2 <y< π, sin⁡y= 817 のとき, tan⁡( x+y ) の値は ② である.
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(3) 不等式 {log2 ⁡(n +1) }2 - 2⁢log 2⁡ (n+1 )2 + 2⁢log n+1 ⁡8+1< 0 を満たす自然数 n すべての和の値は ③ である.
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(4) n を 3 以上の自然数とする.平面上に n 個の円があり,これらの円のうちのどの 2 個も 2 点で交わり,どの 3 個も 1 点で交わらないとする.このとき,これらの円の交点の総数は n を用いて ④ と表される.
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(5) 実数 x , y , z が x 2+y 2+z 2=2 を満たすとき, x+2⁢ y-3⁢ z の最大値は ⑤ である.
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(6) 複素数 z が | z-3⁢ i|= 3 を満たすとき, |z- 1| は z = ⑥ で最大値 ⑦ をとり, z= ⑧ で最小値 ⑨ をとる.ただし, i は虚数単位である.
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(7) 関数 f⁡ (x) =(x+ 2)⁢ e-2⁢ x の最大値は ⑩ である.また,曲線 y =f⁡( x) が上に凸となるような x の値の範囲は ⑪ であり,この曲線の変曲点の座標は ⑫ である.さらに,この曲線と x 軸および y 軸で囲まれた図形の面積は ⑬ である.
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(8) n を自然数とすると,定積分 ∫0π 2⁢n n n+1 ⁢x⁢ cos⁡n⁢ x⁢dx は n を用いて ⑭ と表される.また,この定積分を a n とおくと,無限級数 ∑n= 1∞ an の和は ⑮ である.
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【2】 次の問いに答えよ.
(1) log2⁡ 3 は無理数であることを示せ.
(2) log2 ⁡24 は無理数であることを示せ.