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2021-15113-0801
2021 関西学院大学 理系関学独自方式
2月5日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) 1 個のさいころを 2 回続けて投げ, 1 回目に出た目を X , 2 回目に出た目を Y とする.このとき, X=Y となる確率は ア であり, X<Y となる確率は イ である.また, X と Y の積 X⁢ Y が奇数になる確率は ウ である.
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(2) 関数 y=sin 2⁡x-2 ⁢3⁢sin⁡ x⁢cos⁡x+ 3⁢cos2 ⁡x-3⁢ sin⁡x+3⁢ 3⁢cos⁡ x (0 ≦x≦2⁢π ) について, t=sin⁡x -3⁢cos⁡ x とおいて, y を t を用いて表すと, y= エ である.関数 y の最小値は オ である.また関数 y の最大値は カ であり,そのときの x の値は x= キ である.
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(3) x を x1 2+x− 12= 5 を満たす 1 より大きい実数とする.このとき, x+x- 1= ク であり, x32+ x−32 = ケ である.また, x12 −x−12 = コ である.
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【2】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
O を原点とする平面上の点 A , B の位置ベクトルをそれぞれ a →, b→ とする. a→ , b→ は
|a →| =3, |b →| =5, |a →+b →| =7
を満たすとする.また線分 OA 上の点 C と線分 OB 上の点 D を結ぶ線分 CD 上に三角形 OAB の重心 G があり, CG:GD=3 :2 を満たしている.線分 AB の中点を M とし,直線 CM と直線 OB の交点を E とする.点 A を通り直線 OA に垂直な直線と直線 CM の交点を F とする.
a→ と b→ の内積は a→ ⋅b→ = ア であり, a→ と b→ のなす角 θ は θ= イ である.また,線分 AB の長さは ウ であり,三角形 OAB の面積は エ である.
ベクトル OG→ , OC→ , OD→ , OM→ , OE→ , OF→ を a →, b→ を用いて表すと,
OG→= オ , OC→= カ , OD→= キ , OM→= ク , OE→= ケ , OF→= コ
である.
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【3】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
自然数の列 1,2 ,3,⋯ を,次のような群に分ける.ただし第 n 群には n 個の数が入るものとする.
1 | 2,3 | 4,5, 6 | 7⋯ 第1 群 第2 群 第3 群
自然数 n に対して,第 n 群の最後の数を an とする.
(1) a1= 1, a2= 3, a3= 6, a4= ア , a5= イ である.
(2) an+1 -an を n の式で表すと an +1-a n= ウ であり,数列 { an} の一般項は an = エ である.
(3) 第 200 群の 100 番目の数は オ である.また, 1000 は第 カ 群の キ 番目の数である.
(4) 第 n 群にあるすべての数の和は ク である.
(5) ∑k =1n 1ak = ケ である.また, ∑n =1∞ 1an = コ である.
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【4】 a を実数の定数とする.関数 f⁡( x) と g⁡ (x) を,
f⁡(x )=sin⁡2 ⁢x, g⁡(x )=a⁡cos ⁡⁡x
とし,曲線 C1 と C2 を,
C1:y =f⁡( x) (0≦x≦ π2 ), C2:y =g⁡( x) (0≦ x≦π 2)
とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点 ( π3,f ⁡( π3) ) における曲線 C1 の接線の方程式を求めよ.
(2) a=1 のとき,曲線 C1 , C2 と y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3) 曲線 C1 と C2 が異なる 2 個の共有点 P ( π2,0 ) と Q をもつような a の値の範囲を求めよ.また,点 Q の x 座標を t とするとき, sin⁡t を a を用いて表せ.
(4) a が(3)で求めた範囲にあるとき,曲線 C1 , C2 と y 軸で囲まれた部分の面積 S , 曲線 C1 と C2 で囲まれた部分の面積 T をそれぞれ a を用いて表せ.また, 2⁢S=T となるとき a の値を求めよ.