2021　防衛医科大学校　医学科択一式MathJax

【１】　$a=\sqrt{14-6\sqrt{5}}$と正の実数$k$について，${\displaystyle \frac{4}{ka}}$の整数部分が$1$になるような$k$の値の範囲は$\alpha <k\leqq \beta$である．また，${\displaystyle \frac{4}{ka}}$の整数部分が$2$で小数部分が$0$以上$0.5$以下になるような$k$の値の範囲は$\gamma \leqq k\leqq \delta$である．このとき，以下の問に答えよ．

$\text{１}$　$\alpha$と$\beta$の積はいくらか．

$\text{(1)}7-3\sqrt{5}$$\text{(2)}7-\sqrt{5}$$\text{(3)}7+\sqrt{5}$$\text{(4)}7+3\sqrt{5}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{２}$　$\gamma$と$\delta$の積はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{14+6\sqrt{5}}{3}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{14+6\sqrt{5}}{5}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{14+6\sqrt{5}}{7}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{14+6\sqrt{5}}{9}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【２】　$\mathrm{AB}=3$の$\mathrm{▵ABC}$において，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$におろした垂線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{DC}=3-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=2\theta \text{，}$$\mathrm{\angle CAD}=\theta$とするとき，以下の問に答えよ．

$\text{３}$　辺$\mathrm{AC}$の長さを$\theta$で表すと以下のどれか．

$\text{(1)}3\sin \theta$$\text{(2)}3\cos \theta$$\text{(3)}6\sin \theta$$\text{(4)}6\cos \theta$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{４}$　$\mathrm{▵ADC}$の$3$辺の長さの和はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{9}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{9}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【３】　実数$x$の関数$f(x)=8^x-5\times 4^x+2^{x+2}$$+k(5\times 2^x-4^x-4)$$\text{（}k$は正の定数）について，以下の問に答えよ．

$\text{５}$　$x$の方程式$f(x)=0$の実数解がちょうど$2$つになるような$k$の値は$2$つ存在する．この$2$つの$k$の値の和はいくらか．

$\text{(1)}5$$\text{(2)}6$$\text{(3)}7$$\text{(4)}8$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{６}$　$x$の方程式$f(x+1)=0$の実数解がちょうど$2$つになるとき，その$2$解の積はいくらか．

$\text{(1)}1$$\text{(2)}3$$\text{(3)}5$$\text{(4)}7$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【４】　関数$f(x)=x^4-(2a-6)x^3$$+(a^2-6a+10)x^2$$-(2a-6)x+1$$\text{（}a$は実数の定数）について，以下の問に答えよ．

$\text{７}$　$x$が$0$ではない実数であるとき，整式$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$の取りうる値の範囲は，$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\leqq \alpha$または$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\geqq \beta$である．このとき，$\alpha$と$\beta$の積はいくらか．

$\text{(1)}-1$$\text{(2)}-2$$\text{(3)}-3$$\text{(4)}-4$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{８}$　$x$の方程式$f(x)=0$の解がすべて実数になるような$a$の値の範囲は$a\leqq \gamma$または$a\geqq \delta$である．このとき，$\gamma$と$\delta$の和はいくらか．

$\text{(1)}4$$\text{(2)}5$$\text{(3)}6$$\text{(4)}7$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【５】　座標空間上の点$\mathrm{P}$は，実数$\theta$を用いて$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$と表され，点$\mathrm{Q}$は実数$s$と$t$を用いて$\mathrm{Q}$$(3s^2,t,3s-s^3)$と表される．このとき，以下の問に答えよ．

$\text{９}$　$s$が$-\sqrt{3}\leqq s\leqq \sqrt{3}$の範囲の値を取りながら変化するとき，$\mathrm{Q}$の$z$座標の最大値はいくらか．

$\text{(1)}2$$\text{(2)}3$$\text{(3)}4$$\text{(4)}5$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{10}$　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$とする．$s$が$-\sqrt{3}\leqq s\leqq \sqrt{3}$の範囲の値を取りながら変化し，$t$が実数の値を取りながら変化するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最小値を$a\text{，}$最小値を与える$s$と$t$をそれぞれ$s_0\text{，}$$t_0$とする．$a\text{，}$$s_0\text{，}$$t_0$それぞれの値の和はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{2}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{2}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{4+\sqrt{3}}{2}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【６】　以下の問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

$\text{11}$　複素数$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とする．複素数$a\text{，}$$b$が$a=3{\omega }^2+\omega \text{，}$$b={\omega }^2+3\omega$であるとき，$a^3+b^3$の値はいくらか．

$\text{(1)}-20$$\text{(2)}-10$$\text{(3)}10$$\text{(4)}20$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【６】　以下の問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

$\text{12}$　${\left({\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}}\right)}^{12}$はいくらか．

$\text{(1)}-2$$\text{(2)}-1$$\text{(3)}1$$\text{(4)}2$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【６】　以下の問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

$\text{13}$　複素数$a_n={({\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}i)}^n$が実数となる自然数$n$のうち，最小のものを$n_0$とすると，$a_{n_0}$はいくらか．

$\text{(1)}-5096$$\text{(2)}-4096$$\text{(3)}-3096$$\text{(4)}-2096$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【７】　座標平面上に，原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1)$を頂点とする正方形$\mathrm{OABC}$がある．$\mathrm{OABC}$の内部（境界を含む）を$S$とする．また曲線$y=-x^2+a^2$$\text{（}a\geqq 0\text{）}$と$x$軸で囲まれる領域（境界を含む）を$T(a)\text{，}$$S$と$T(a)$の共通部分の面積を$h(a)$とする．このとき，以下の問に答えよ．

$\text{14}$　${\displaystyle {\int }_0^1}h(a)\mathit{da}$の値はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{5}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{1}{6}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{1}{7}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{1}{8}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

$\text{15}$　${\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{2}}}ah(a)\mathit{da}$の値はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{9}{20}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{13}{20}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{17}{20}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{21}{20}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．