2021　気象大学校　記述式問題MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\text{，}{a}_2=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ a_{n+1}=a_n\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}}& \text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

により定める．以下の設問に答えよ．

(1)　$a_3$を，${\displaystyle \frac{1}{2}}$のみを用いて，根号を含む式で表せ．

(2)　$0<\theta \leqq \pi$とする．$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$を$\cos \theta$を用いて表せ．

　また，等式

$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{8}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{4}}={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}{4\sin {\displaystyle \frac{\theta }{8}}}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$\theta$を$0<\theta \leqq \pi$を満たす定数とし，数列$\{{\beta }_n\}$を

${\beta }_n=\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2^{n+1}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により，また，数列$\{b_n\}$を

$\{\begin{array}{l}{b}_1=1\\ b_n={\beta }_{n-1}{b}_{n-1}& \text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\beta }_{n+1}$を${\beta }_n$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\{b_n\}$の一般項を$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　$0\leqq a<1$を満たす$a$に対し，座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(1,1)$を考える．以下の設問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AP}$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AP}$と$x$軸のなす角の二等分線のうち，傾きが正のものを$l_a$とし，$l_a$の傾きを$m_a$とする．このとき，$m_a$を$a$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{B}$$(b,0)$$\text{（}a<b<1\text{）}$に対し，(2)と同様に，直線$\mathrm{BP}$と$x$軸のなす角の二等分線のうち，傾きが正のものを$l_b$とし，$l_b$の傾きを$m_b$とする．このとき，極限値

$\underset{b\to a+0}{\lim }{\displaystyle \frac{m_b-m_a}{b-a}}\text{，}$$\underset{b\to a+0}{\lim }{\displaystyle \frac{b{m}_b-a{m}_a}{b-a}}$

をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(4)　(2)，(3)で定めた$2$直線$l_a\text{，}$$l_b$の交点の$x\text{，}$$y$座標をそれぞれ$X(b)\text{，}$$Y(b)$とするとき，極限値

$X=\underset{b\to a+0}{\lim }X(b)\text{，}$$Y=\underset{b\to a+0}{\lim }Y(b)$

をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(5)　$a$が$0\leqq a<1$の範囲を動くとき，(4)で求めた$X$の取り得る値の範囲を求めよ．

(6)　$a$が$0\leqq a<1$の範囲を動くとき，(4)で求めた$X\text{，}$$Y$から定まる点$(X,Y)$の軌跡を求め，座標平面上に図示せよ．

【３】　$d\text{，}$$r\text{，}$$k$を正の定数とする．座標平面上において，点$(t,0)$$\text{（}0\leqq t\leqq d\text{）}$を中心とする半径$r$の円を$C_t$とし，$C_t$上の点$\mathrm{A}$を，図のように点$(t,r)$から時計回りに角$kt$だけ回転した点と定める．

　$t$を$0\leqq t\leqq d$の範囲で動かしたとき，点$\mathrm{A}$は点$(0,r)$から出発し，$C_t$上を$1$周して点$(d,r)$まで移動する．以下の設問に答えよ．

(1)　$k$を$d$を用いて表せ．また，点$\mathrm{A}$の座標を$t\text{，}$$d\text{，}$$r$を用いて表せ．

(2)　$t$を$0\leqq t\leqq d$の範囲で動かしたとき，点$\mathrm{A}$の軌跡を$L$とする．$L$はある点$\mathrm{P}$で$L$自身と交わっているとする．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$が存在するための$d\text{，}$$r$が満たすべき不等式を与えよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$の$y$座標が$0$であるとき，$d$を$r$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)の条件の下で，$L$で囲まれる図形の面積を求めよ．