2021　職業能力開発総合大学校　推薦MathJax

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を入れなさい．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}$のとき，$x+y=\text{(イ)}\text{，}$$x^2+y^2=\text{(ロ)}\text{，}$$x^3+x^{2}y+x{y}^2+y^3=\text{(ハ)}$である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を入れなさい．

(2)　関数$y=|x+1|+|x-3|+x$は，$x=-\text{(ニ)}$のとき最小値$\text{(ホ)}$をとる．また，$y\leqq 6$を満たす$x$の値の範囲は$-\text{(へ)}\leqq x\leqq \text{(ト)}$である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を入れなさい．

(3)　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$のとき，$\sqrt{3}{(\tan \theta )}^2+2\tan \theta -\sqrt{3}=0$を満たす$\theta$は，$\theta =\text{(チ)}\text{，}$$\text{(リ)}$である．ただし，$\text{(チ)}\text{，}$$\text{(リ)}$の解答の順序は問わない．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を入れなさい．

(4)　$x$の$2$次関数$f(x)=x^2-8x+2a^2-3a+12$がある．ただし，$a$は定数とし，$a>0$とする．$0\leqq x\leqq 6$における$f(x)$の最小値が$5$のとき，$a=\text{(ヌ)}$である．このとき，$0\leqq x\leqq 6$における$f(x)$の最大値は，$\text{(ル)}$である．

【２】　次の各問に答えなさい．

(1)　$2$つの集合

$A=\{x|x^2-5x+4<0\text{，}x\text{は実数}\}\text{，}$$B=\{x|2x-a\leqq 0\text{，}x\text{は実数}\}$

を考える．ただし，$a$は定数とする．

(ⅰ)　$A\cap B=\varnothing$となるような$a$の値の範囲を求めなさい．

(ⅱ)　$A\cap B$がただ$1$つの整数$x$を含むような$a$の値の範囲を求めなさい．

【２】　次の各問に答えなさい．

(2)　$x$ は実数とする．$x$の$2$次不等式$x^2-x-30\geqq 0$が成り立つことが，不等式$\left|x\right|\geqq a$が成り立つための十分条件となるような正の定数$a$のとる値の範囲を求めなさい．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において，

$\mathrm{BC}=\sqrt{21}\text{，}$$\mathrm{CA}=5\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=60\mathrm{°}\text{，}$$\sin \mathrm{\angle ACB}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}}$

である．このとき，以下の各問に答えなさい．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を求めなさい．また，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めなさい．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．このとき，$\mathrm{\angle OBC}$の大きさを求めなさい．

(4)　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めなさい．