2021　防衛大学校　一般MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　${\log }_2(x-2)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}x=0$を満たす$x$は次のどれか．

$\text{ⓐ }1$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{5+\sqrt{2}}{3}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{5-\sqrt{2}}{3}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{5}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{5}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(2)　座標平面上で，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq |x-1|+|x-2|\\ y\leqq x\end{array}$

の表す領域の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓓ }1$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{5}{4}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{7}{4}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(3)　$m^3-n^3$が$30$以下の素数となるような正の整数$m\text{，}$$n$の組$(m,n)$の個数は次のどれか．

$\text{ⓐ }0$$\text{ⓑ }1$$\text{ⓒ }2$$\text{ⓓ }3$$\text{ⓔ }4$$\text{ⓕ }5$$\text{ⓖ }6$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(4)　座標空間の$3$点$\mathrm{A}$$(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(a,b,-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,5)$が一直線上にあるとき，$a\text{，}$$b$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }a=1\text{，}b=1$$\text{ⓑ }a=1\text{，}b=4$$\text{ⓒ }a=2\text{，}b=1$$\text{ⓓ }a=2\text{，}b=3$$\text{ⓔ }a=3\text{，}b=4$$\text{ⓕ }a=3\text{，}b=1$$\text{ⓖ }a=4\text{，}b=3$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\tan {\displaystyle \frac{\pi x}{4}}\mathit{dx}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\log 2$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\log 3$$\text{ⓒ }\log 2$$\text{ⓓ }\log 3$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{2}{\pi }}(\log 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log 3)$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{2}{\pi }}(\log 3-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log 2)$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{2}{\pi }}(2\log 3-\log 2)$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【２】　$a$を定数とし，関数

$y=2x^2-4ax+a$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a=-1$のとき，$m$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }-5$$\text{ⓑ }-3$$\text{ⓒ }-1$$\text{ⓓ }1$$\text{ⓔ }3$$\text{ⓕ }5$$\text{ⓖ }7$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　$m$の値が最大となる$a$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }0$$\text{ⓑ }1$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{1}{8}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{3}{8}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　$M$の値が最小となる$a$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }0$$\text{ⓑ }1$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{1}{8}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{3}{8}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【３】　関数$f_n(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$が

$f_1(x)=2x+3\text{，}$$f_{n+1}(x)=3x^2+{\displaystyle {\int }_0^1}x{f}_n(t)\mathit{dt}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)　関数$f_2(x)$は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{9}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+5x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓒ }3x^2+4x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓓ }3x^2+{\displaystyle \frac{13}{6}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓔ }5x^2+3x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓕ }5x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{5}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(t)\mathit{dt}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表す式は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n^2$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓕ }{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓖ }{a}_n+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　$n\geqq 2$のとき，関数$f_n(x)$は次のどれか．

$\text{ⓐ }3x^2+\{3{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}+1\}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+({\displaystyle \frac{1}{2}}n-3)x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2+\{3{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}-1\}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{3}{5}}{x}^3+({\displaystyle \frac{1}{2}}n-{\displaystyle \frac{3}{2}})x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓔ }3x^2+\{3{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-2}+1\}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓕ }3x^2+({\displaystyle \frac{1}{2}}n+3)x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓖ }3x^2+\{5{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-2}-1\}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【４】　座標平面上の$4$点$\mathrm{A}$$(-{\displaystyle \frac{3}{4}},0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(s,t)\text{，}$$\mathrm{O}$$(0,0)$を考える．ただし，$t>0$とする．$\mathrm{▵OBC}$の$3$辺$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CO}$をそれぞれ$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵PBQ}$の面積を表す式は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{t}{9}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{t}{8}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{t}{7}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{t}{6}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{t}{5}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{t}{4}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{t}{3}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　$\mathrm{▵PQR}$の面積を表す式は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{t}{9}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{t}{8}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{t}{7}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{t}{6}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{t}{5}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{t}{4}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{t}{3}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　$\mathrm{OQ}\perp \mathrm{PR}$のとき，線分$\mathrm{AC}$の長さは次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{5}{4}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{25}{16}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{16}{9}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{5}{3}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{25}{9}}$$\text{ⓖ }1$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(4)　$\mathrm{OQ}\perp \mathrm{PR}$のとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積が最大となる$s$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{5}{8}}\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{5}{4}}\sqrt{2}-4$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{1}{8}}$$\text{ⓔ }-{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{ⓕ }-{\displaystyle \frac{11}{8}}$$\text{ⓖ }-2$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【５】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，円$C$を$x^2+y^2=1$により定める．円$C$上に$4$点$\mathrm{P}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(s,t)\text{，}$$\mathrm{R}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{S}$$(s,-t)$をとる．ただし，$s>0\text{，}$$t>0$とする．$\mathrm{\angle OPQ}=\theta$$({\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とし，$\mathrm{▵QRS}$の面積を$\theta$で表した式を$F(\theta )$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$(s,t)$を表す式は次のどれか．

$\text{ⓐ }(\sin \theta ,\cos \theta )$$\text{ⓑ }(\sin \theta ,-\cos \theta )$$\text{ⓒ }(-\sin \theta ,\cos \theta )$$\text{ⓓ }(-\sin \theta ,-\cos \theta )$$\text{ⓔ }(\sin 2\theta ,\cos 2\theta )$$\text{ⓕ }(\sin 2\theta ,-\cos 2\theta )$$\text{ⓖ }(-\sin 2\theta ,\cos 2\theta )$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　$\cos 2\theta =-{\displaystyle \frac{4}{5}}$のとき，$F(\theta )$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{1}{25}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{3}{25}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{4}{25}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{6}{25}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{8}{25}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{12}{25}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{4}{5}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　極限$\underset{\theta \to \frac{\pi }{3}}{\lim }{\displaystyle \frac{F(\theta )-F\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}{\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }1$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}$$\text{ⓔ }\sqrt{3}$$\text{ⓕ }\sqrt{3}-1$$\text{ⓖ }\sqrt{3}+1$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(4)　$F^{″}(\theta )=0$となるとき，$t$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓓ }1$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

【３】　放物線$y=x^2$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$における接線を$l$とする．ただし，$1\leqq t\leqq 2$とする．$l$と$x$軸の共有点を$\mathrm{Q}$とし，$l$と$x$軸および直線$x=2$によって囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{t}{6}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{t}{4}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{t}{3}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{t}{2}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{2t}{3}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{3t}{4}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{5t}{6}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(2)　$t={\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$S$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }{\displaystyle \frac{45}{16}}$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{11}{18}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{27}{20}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{25}{48}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{75}{32}}$$\text{ⓕ }{\displaystyle \frac{81}{64}}$$\text{ⓖ }{\displaystyle \frac{23}{60}}$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$

(3)　$S$の値が最大となる$t$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }1$$\text{ⓑ }{\displaystyle \frac{5}{4}}$$\text{ⓒ }{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓓ }{\displaystyle \frac{5}{3}}$$\text{ⓔ }{\displaystyle \frac{7}{4}}$$\text{ⓕ }2$$\text{ⓖ }4$$\text{ⓗ 以上のどれでもない．}$