2021　海上保安大学校　記述問題MathJax

2021　海上保安大学校　記述問題

易□　並□　難□

【１】　以下の設問に答えよ．

(1)　 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき，次の方程式を解け．

$\sin θ + \sqrt{3} \cos θ = 1$

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易□　並□　難□

【１】　以下の設問に答えよ．

(2)　次の式の値を求めよ．

$1 + 4 + 7$ $+ \dots + 9997 + 10000$

2021　海上保安大学校　記述問題

易□　並□　難□

【１】　以下の設問に答えよ．

(3)　次の等式を満たす定数 $a$ の値と関数 $f (x)$ を求めよ．

$\int_{1}^{x} f (t) dt = x^{3} + a x + 3$

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易□　並□　難□

【１】　以下の設問に答えよ．

(4)　 $n$ を正の整数， $r$ を $1 ≦ r ≦ n$ を満たす整数とするとき，次の等式が成り立つことを示せ．

${}_{n}C_{r} + {}_{n}C_{r - 1} = {}_{n + 1}C_{r}$

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易□　並□　難□

【２】　 $a$ を実数の定数とし，関数 $f (x)$ を $f (x) = x^{3} - a x$ とするとき，座標平面上の曲線 $C ： y = f (x)$ に対する以下の設問に答えよ．

(1)　 $t$ を実数とする．曲線 $C$ 上の点 $P$ $(t, f (t))$ における接線の方程式を求めよ．

(2)　 $t \neq 0$ のとき，(1)の接線と曲線 $C$ との点 $P$ 以外の共有点 $Q$ の $x$ 座標を $t$ で表せ．

(3)　 $t \neq 0$ のとき，(1)の接線が(2)の点 $Q$ における法線となる $t$ が存在するような $a$ の値の範囲を求めよ．

　ただし，点 $Q$ における法線とは， $Q$ を通り， $Q$ における接線と直交する直線のことである．

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易□　並□　難□

【３】　座標空間の点 $C$ $(2, 1, - 3)$ を中心とする半径 $4$ の球面 $S$ と点 $P$ $(4, 2, 1)$ に対し，以下の設問に答えよ．

(1)　線分 $CP$ の長さを求めよ．

(2)　球面 $S$ 上にあり， $∠CQP = 60 °$ となる点 $Q$ に対し，線分 $PQ$ の長さを求めよ．

(3)　(2)の条件を満たす点 $Q$ の軌跡は，直線 $CP$ と直交する平面上の円となる．この円の半径と中心の座標をそれぞれ求めよ．