2022　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を定数とする．関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx-1$は，$x=1$と$x={\displaystyle \frac{5}{3}}$で極値をとる．

(1)　$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の接線のうち，傾きが$1$で$y$切片が負であるものを$l$とする．接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた接線$l$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^4}{1-x^2}}$

と定める．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{3}}}{\displaystyle \frac{2}{1-x^2}}\mathit{dx}$および${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{3}}}\{{\displaystyle \frac{2}{1-x^2}}-f(x)\}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，不等式$0\leqq f(x)\leqq {\displaystyle \frac{9}{4}}{x}^4$が成り立つことを示せ．

(3)　不等式$0.691<\log 2<0.694$が成り立つことを示せ．ただし，対数は自然対数とする．

【３】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{4n+2^n}{2^{n+1}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．また，$b_n=2^n{a}_n$とおく．

(1)　$c_n=b_{n+1}-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$a_n<a_{n+1}$を満たす最大の自然数$n$を求めよ．

【４】　複素数$\omega$は方程式$z^3=1$の$1$でない解とする．

(1)　$1+\omega +{\omega }^2$の値を求めよ．

(2)　$\omega \ne {\omega }^2$を示せ．

(3)　複素数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は

$a+b\omega +c{\omega }^2=0\text{，}$$a+b{\omega }^2-c{\omega }^4=0$

を満たすとする．$a=b=c$を示せ．

【５】　平面上の互いに異なる$3$つの点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は一直線上にないとする．点$\mathrm{C}$は$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たすとする．また，線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}$を満たす実数$k\text{，}$$l$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$を満たす実数$r\text{，}$$s$を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$を満たす実数$x\text{，}$$y$を求めよ．