2022　帯広畜産大学　前期総合問題

【５】

問１　次の問いに答えなさい．

1)　$t=\cos 2\theta$とするとき，${(\sqrt{6}\sin \theta )}^2$を$t$の式で表しなさい．ただし，$\theta$は実数とする．

【５】

問１　次の問いに答えなさい．

2)　複素数${\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}i}{\sqrt{3}+\sqrt{2}i}}$の実部を答えなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

【５】

問１　次の問いに答えなさい．

3)　${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$2^{\frac{1}{2}}\text{，}$${\log }_2\sqrt{3}$の大小を不等号を用いて表しなさい．

【５】

問２　$1$個のさいころを$n$回投げるとき，出る目を順に$Y_1\text{，}$$Y_2\text{，}\cdots \text{，}$$Y_n$とする．

$M_n=Y_1\times Y_2\times \cdots \times Y_n$

とすると，整数$j\text{，}$$k\text{，}$$m$を用いて，

$M_n=2^j\times 3^k\times 5^m$

と表すことができる．このとき，$j$が奇数である確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数である．

1)　$n=1\text{，}$$Y_1=6$のとき，$j\text{，}$$k\text{，}$$m$の値をそれぞれ求めなさい．

2)　$n=3\text{，}$$Y_1=2\text{，}$$Y_2=4\text{，}$$Y_3=5$のとき，$M_3\text{，}$$j\text{，}$$k\text{，}$$m$の値をそれぞれ求めなさい．

3)　$p_{n+1}$を$p_n$の式で表しなさい．

4)　$p_n$を$n$の式で表しなさい．

【５】

問３　すべての自然数$n$について，数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項$a_n\text{，}$$b_n$をそれぞれ

$a_n={(-1)}^n\times 2\sqrt{n}\text{，}$

$b_n=-{(n-5)}^2+13$

で定義し，放物線$C_n$を

$C_n\text{：}y=-{(x-a_n)}^2+b_n$

で定義する．自然数$n$を$1$つ選び，$2$つの放物線$C_n$と$C\text{：}y=x^2$が異なる$2$点で交わるとき，$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$w_n\text{，}$$z_n$とし，$2$つの放物線$C_n$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．放物線$C_n$と$C$が接する，または共有点をもたないときは，$S_n=0$とする．ただし，$w_n<z_n$とする．

1)　$n=3$のとき，$w_3\text{，}$$z_3$の値をそれぞれ求めなさい．

2)　$S_n>0$となる$n$の値をすべて求めなさい．

3)　$S_n>0$となる$n$を$1$つ選ぶとき，$x$座標が等しく，放物線$C_n$の接線の傾きと放物線$C$の接線の傾きが等しくなるような接点が放物線$C_n\text{，}$$C$上にそれぞれ$1$つ存在する．その接点をそれぞれ${\mathrm{T}}_n\text{，}$$\mathrm{T}$とし，点${\mathrm{T}}_n\text{，}$$\mathrm{T}$の$x$座標を$q_n$とすると，$q_n$は$w_n<q_n<z_n$をみたす．

(1)　$q_n$を$a_n$の式で表しなさい．

(2)　すべての自然数$n$について，$S_n<8\sqrt{2}$となることを示しなさい．必要があれば以下の$\text{①}$を用いてよい．

「点${\mathrm{T}}_n\text{，}$$\mathrm{T}$における放物線$C_n\text{，}$$C$のそれぞれの接線および$2$つの直線$x=w_n\text{，}$$x=z_n$で囲まれた図形の面積」は$S_n$より大きい．$\cdots \text{①}$