2022　北見工業大学　後期

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　$y=\cos (\log x)$の導関数は$y^{\prime }=\text{(ⅰ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　$\mathrm{A}$班$5$人の平均点が$3\text{，}$分散が$2$であり，$\mathrm{B}$班$5$人の平均点が$5\text{，}$分散が$8$であるテストの$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$班全体の分散は$\text{(ⅱ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　$y=\sqrt[3]{4x+5}$について，$x$を$y$の式で表すと，$x=\text{(ⅲ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　$3$進法で$2022$と表される自然数を$10$進法で表すと，$\text{(ⅳ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　${\displaystyle {\int }_0^{3\pi }}x\cos x\mathit{dx}=\text{(ⅴ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　ある画像識別機は写真を見せるとイヌかネコのいずれかの答えを出力する．ただし，イヌの写真に対して正しくイヌと答える確率は$90\mathrm{\%}\text{，}$ネコの写真に対して正しくネコと答える確率は$80\mathrm{\%}$である．イヌの写真とネコの写真をそれぞれ$100$枚ずつ用意し，その中から無作為に$1$枚を選んでこの識別機に見せたところ，答えはイヌであった．このとき，見せた写真がネコの写真である確率は$\text{(ⅵ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(7)　$(a,b)$を実数の組とする．$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}}=1$が成り立つならば，$(a,b)=\text{(ⅶ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(8)　複素数平面上の点$1+i$を点$1-i$のまわりに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転させた点は$\text{(ⅷ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(9)　$\overrightarrow{a}=(-2,t,3)$と$\overrightarrow{b}=(5,2,-4)$が垂直ならば，$t=\text{(ⅸ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(10)　「$(x-1)(y-1)=0$かつ$xy=0\text{」}$は「$(x,y)=(0,1)$または$(x,y)=(1,0)\text{」}$であるための$\text{(ⅹ)}\text{．}$

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件であるが必要条件でない

(c)　必要条件であるが十分条件でない

(d)　必要条件でなく十分条件でもない

【２】　$a>1$とする．$xy$平面において，$y=e^{-x^2}$のグラフと，$x$軸，$y$軸，直線$x=a$とで囲まれた図形を$D$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=e^{-x^2}$の導関数$y^{\prime }$および第$2$次導関数$y^{″}$をそれぞれ求めよ．

(2)　$-a\leqq x\leqq a$における関数$y=e^{-x^2}$の増減と凹凸を調べよ．さらに，図形$D$の概形をかけ．

(3)　$xyz$空間において，図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体を$V$とする．$e^{-a^2}<t<1$に対して，$y$軸に垂直な平面$y=t$による$V$の切り口の面積を求めよ．

(4)　(3)で定めた立体$V$の体積を求めよ．

【３】　関数$f(x)=2\sqrt{x}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$に対して，以下の手順で$xy$平面上の点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{B}}_3\text{，}\cdots$を順に決めていく．

（手順１）点${\mathrm{A}}_1$を$(1,0)$とする．点${\mathrm{A}}_1$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$y=f(x)$との交点を${\mathrm{B}}_1$とする，

（手順２）点${\mathrm{B}}_1$における曲線$y=f(x)$の接線を$l_1$とする．点${\mathrm{B}}_1$を通り，$l_1$に垂直な直線を$t_1$とする．さらに，$t_1$と$x$軸との交点を${\mathrm{A}}_2$とする．また，点${\mathrm{A}}_2$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$y=f(x)$との交点を${\mathrm{B}}_2$とする．

（手順３）$n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}\cdots$に対して，点${\mathrm{B}}_n$における曲線$y=f(x)$の接線を$l_n$とする，点${\mathrm{B}}_n$を通り，$l_n$に垂直な直線を$t_n$とする．さらに，$t_n$と$x$軸との交点を${\mathrm{A}}_{n+1}$とする．また，点${\mathrm{A}}_{n+1}$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$y=f(x)$との交点を${\mathrm{B}}_{n+1}$とする．

以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l_1\text{，}$$t_1$の方程式をそれぞれ求めよ．また，点${\mathrm{A}}_2$の座標を求めよ．

(2)　点${\mathrm{A}}_3$の座標を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，点$A_n$の座標を$n$を用いて表せ，さらに，表した座標が正しいことを，数学的帰納法を用いて示せ．

(4)　自然数$n$に対して，三角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}$の面積を$S_n$とし，関数$y=f(x)$と$2$直線${\mathrm{B}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{A}}_{n+1}{\mathrm{B}}_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$M_n$とする．このとき，$S_n$と$M_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ，また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{M_n}{S_n}}$の値を求めよ．

【４】　以下の文を読み，その中にある空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．

　$n$を$2$以上の自然数とする．縦$3$個，横$n$個のマス目の中から，縦および横に隣り合わないようにして，三つのマス目を選ぶことを考える．この選び方の総数を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$の式で表そう．

　$n=2$ならば，右の図のように，$S_2=2$であることがわかる．

　なお，選んだマス目の中心に●を書くことにする．また，マス目の中の横の並びを上から順に第$1$行，第$2$行，第$3$行と名前をつける．さらに，縦の並びを左から順に第$1$列，第$2$列，$\cdots \text{，}$第$n$列と名前をつける．

　次に，$n=3$の場合を考察しよう．三つのマス目の選び方を次の(3.a)〜(3.d)の$4$通りの場合に分けて考える．

(3,a)　各行から一つずつ選ぶとき，この選び方の総数を$A_3$とする．

　例えば，右の図のような選び方である．このような選び方の総数は次のようにして求めることができる．まず，第$1$行の三つのマス目の中から一つを選ぶ．次に，第$2$行の三つのマス目の中から，第$1$行で選んだ列以外の一つを選ぶ．最後に，第$3$行の三つのマス目の中から，第$2$行で選んだ列以外の一つを選ぶ．したがって，$A_3=\text{(ⅰ)}$である．

(3,b)　第$1$行の中から二つのマス目を選び，残りの一つを第$2$行または第$3$行から選ぶことを考えよう．このときの選び方の総数を$B_3$とする．

　第$1$行の三つのマス目の中から二つを隣り合わないように選ぶならば，右の図のように，第$1$列と第$3$列を選ばなければならない．さらに，もう一つのマス目は第$2$行の中から第$1$行で選ばれた列以外のマス目（＊印を付けた箇所），または第$3$行の任意のマス目から選べばよい．よって，$B_3=\text{(ⅱ)}$である．

(3,c)　第$2$行の中から二つのマス目を選び，残りの一つを第$1$行または第$3$行から選ぼう．このときの選び方の総数を$C_3$とする．第$2$行から二つを選ぶならば，第$1$列と第$3$列を選ばなければならない．さらに，もう一つのマス目は第$1$行および第$3$行の中から，第$2$行で選ばれた列以外のマス目を選べばよい．したがって，$C_3=\text{(ⅲ)}$となる．

(3,d)　第$3$行から二つ選び，残りの一つを第$1$行または第$2$行から選ぶとき，この選び方の総数を$D_3$とする．この選び方と(3,b)の上下を反転させたものとが一致することに注意すれば，容易に$D_3$が得られる．

　以上から，$S_3=A_3+B_3+C_3+D_3=\text{(ⅳ)}$であることがわかる．

　以下において，一般の$n$の場合を考察しよう．ただし，$n\geqq 5$とする．このときの三つのマス目の選び方を次の(n,a)〜(n,e)の$5$通りの場合に分けて考える．

(n,a)　各行からマス目を一つずつ選ぶことを考えよう．この選び方の総数を$A_n$とする．このとき，(3,a)と同様に考えると，$A_n=\text{(ⅴ)}$が得られる．

(n,b)　第$1$行から二つのマス目を選び，残りの一つを第$2$行または第$3$行から選ぶことを考える．このときの選び方の総数を$B_n$とする．

　第$1$行の$n$個のマス目の中から，二つのマス目を隣り合わないように選ぶときの場合の数を$T_n$とする．$T_n$を求めるのに際し，選ばれた二つのマス目の間に一つ以上の選ばれていないマス目が入っている場合の数を数えあげよう，以下において，選ばれないマス目のことをカラ（空）$$と書くことにする．また，選ばれた二つのマス目$\text{●}$に対して，左にあるマス目の左に箱$\mathrm{X}\text{，}$選ばれた二つのマス目の間に箱$\mathrm{Y}\text{，}$右にあるマス目の右に箱$\mathrm{Z}$を用意する．さらに，箱$\mathrm{Y}$にはすでにカラが一つ入っているとする．このとき，残りの$(n-3)$個のカラを三つの箱に入れる場合の数を考えればよい．

　例えば，$n=7$で，残りの$4$個のカラを$\mathrm{X}$に二つ，$\mathrm{Y}$に一つ，$\mathrm{Z}$に一つ入れたときは

となる．このように考えることにより，$T_n=\text{(ⅵ)<mspace width=".5em"></mspace>}$を得ることができる．

　さらに，もう一つのマス目は第$2$行の中から第$1$行で選ばれた列以外のマス目，または第$3$行の任意のマス目から選べばよい，よって，$B_n=\text{(ⅶ)<mspace width=".5em"></mspace>}$である．

(n,c)　第$2$行の中から二つのマス目を選び，残りの一つを第$1$行または第$3$行から選ぶとき，この選び方の総数を$C_n$とする．第$2$行から二つのマス目を隣り合わないように選ぶ場合の数は$T_n$である．さらに，もう一つのマス目は第$1$行および第$3$行の中から，第$2$行で選ばれた列以外のマス目を選べばよい．したがって，$C_n=\text{(ⅷ)}$を得ることができる．

(n,d)　第$3$行の中から二つのマス目を選び，残りの一つを第$1$行または第$2$行から選ぶとき，この選び方の総数を$D_n$とする．この選び方と(n,b)の上下を反転させたものとが一致することに注意すれば，$D_n$が得られる．

(n,e)　一つの行の中から三つのマス目を選ぶとき，この選び方の総数を$E_n$とする．これは$T_n$を導き出したときと同様に，選ばれたマス目の間に一つ以上のカラが入っている場合の数を求めればよい，すなわち，カラが入る箱を左から順に$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}$とし，箱$\mathrm{G}$と箱$\mathrm{H}$にはすでにカラが一つずつ入っているとする．残りの$(n-5)$個のカラを四つの箱に入れる場合の数を求めよう．例えば，$n=7$で，残りの$2$個のカラを$\mathrm{F}$に一つ，$\mathrm{I}$に一つ入れたときは

となる．さらに，行の選び方が$3$通りであることも考慮すると，$E_n=\text{(ⅸ)}$を導き出すことができる．

　以上により，$n\geqq 5$に対して，$S_n=A_n+B_n+C_n+D_n+E_n=\text{(ⅹ)}$であることがわかる．なお，この式は$n=2$および$n=3$でも成り立つ．