2022　東北大学　前期MathJax

【１】　$K$を$3$より大きな奇数とし，$l+m+n=K$を満たす正の奇数の組$(l,m,n)$の個数$N$を考える．ただし，たとえば，$K=5$のとき，$(l,m,n)=(1,1,3)$と$(l,m,n)=(1,3,1)$とは異なる組とみなす．

(1)　$K=99$のとき，$N$を求めよ．

(2)　$K=99$のとき，$l\text{，}$$m\text{，}$$n$の中に同じ奇数を$2$つ以上含む組$(l,m,n)$の個数を求めよ．

(3)　$N>K$を満たす最小の$K$を求めよ．

【２】　実数$t$の関数

$F(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-t^2|\mathit{dx}$

について考える．

(1)　$0\leqq t\leqq 1$のとき，$F(t)$を$t$の整式として表せ．

(2)　$t\geqq 0$のとき，$F(t)$を最小にする$t$の値$T$と$F(T)$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の実数とし，$xy$平面上の直線$l\text{：}ax+by-2=0$を考える．

(1)　直線$l$と原点の距離が$2$以上であり，直線$l$と直線$x=1$の交点の$y$座標が$2$以上であるような点$(a,b)$のとりうる範囲$D$を求め，$ab$平面上に図示せよ．

(2)　点$(a,b)$が(1)で求めた範囲$D$を動くとする．このとき，$3a+2b$を最大にする$a\text{，}$$b$の値と，$3a+2b$の最大値を求めよ．

【４】　$xyz$空間内の点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,\sqrt{2},\sqrt{3})\text{，}$$\mathrm{B}$$(-\sqrt{3},0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(\sqrt{6},-\sqrt{3},\sqrt{2})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$3$点$\mathrm{OAB}$を含む平面からの距離が$1$の点のうち，点$\mathrm{O}$に最も近く，$x$座標が正のものを$\mathrm{H}$とする．

(1)　$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{OAB}$を含む平面と点$\mathrm{C}$の距離を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【２】　$a$を実数とし，実数$x$の関数$f(x)=(x^2+3x+a){(x+1)}^2$を考える．

(1)　$f(x)$の最小値が負となるような$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$a<2$のとき，$f(x)$は$2$つの極小値をもつ．このとき，$f(x)$が極小となる$x$の値を${\alpha }_1\text{，}$${\alpha }_2$$\text{（}{\alpha }_1<{\alpha }_2\text{）}$とする．$f({\alpha }_1)<f({\alpha }_2)$を示せ．

(3)　$f(x)$が$x<\beta$において単調減少し，かつ，$x=\beta$において最小値をとるとする．このとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　正の整数$n$に対して，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(\sqrt{1+{\displaystyle \frac{k}{n^2}}}-1)$

とする．

(1)　正の実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{x}{2+x}}\leqq \sqrt{1+x}-1\leqq {\displaystyle \frac{x}{2}}$

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　$xy$平面の第$1$象限内において，直線$l\text{：}y=mx$$\text{（}m>0\text{）}$と$x$軸の両方に接している半径$a$の円を$C$とし，円$C$の中心を通る直線$y=tx$$\text{（}t>0\text{）}$を考える．また，直線$l$と$x$軸，および，円$C$のすべてにそれぞれ$1$点で接する円の半径を$b$とする．ただし，$b>a$とする．

(1)　$m$を用いて$t$を表せ．

(2)　$t$を用いて${\displaystyle \frac{b}{a}}$を表せ．

(3)　極限値$\underset{m\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{m}}({\displaystyle \frac{b}{a}}-1)$を求めよ．

【５】　座標空間内において，ベクトル

$\overrightarrow{a}=(1,2,1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,1,-1)\text{，}$$\overrightarrow{c}=(0,0,1)$

が定める$2$直線

$l\text{：}s\overrightarrow{a}\text{，}$$l^{\prime }\text{：}t\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$（$s\text{，}$$t$は実数）

を考える．点${\mathrm{A}}_1$を原点$(0,0,0)$とし，点${\mathrm{A}}_1$から直線$l^{\prime }$に下ろした垂線を${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$とおく．次に，点${\mathrm{B}}_1$$(t_1\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$から直線$l$に下ろした垂線を${\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_2$とおく．同様に，点${\mathrm{A}}_k$ $(s_k\overrightarrow{a})$から直線$l^{\prime }$に下ろした垂線を${\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k\text{，}$点${\mathrm{B}}_k$$(t_k\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$から直線$l$に下ろした垂線を${\mathrm{B}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}$とする手順を繰り返して，点${\mathrm{A}}_n$$(s_n\overrightarrow{a})\text{，}$${\mathrm{B}}_n$$(t_n\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$（$n$は正の整数）を定める．

(1)　$s_n$を用いて$s_{n+1}$を表せ．

(2)　極限値$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n\text{，}$$T=\underset{n\to \infty }{\lim }{t}_n$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$S\text{，}$$T$に対して，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をそれぞれ$\mathrm{A}$$(S\overrightarrow{a})\text{，}$$\mathrm{B}$$(T\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$とおくと，直線$\mathrm{AB}$は$2$直線$l\text{，}$$l^{\prime }$の両方と直交することを示せ．

【６】　半径$1$の円を底面とする高さが$\sqrt{3}$の直円柱と，半径が$r$の球を考える．直円柱の底面の円の中心と球の中心が一致するとき，直円柱の内部と球の内部の共通部分の体積$V(r)$を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済（文系）学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　経済（理系）・理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部