2022　秋田大学　前期

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$x\leqq 2$において関数$y=2^{2x+2}-2^{x+2}$の最大値と最小値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅱ)　$5$個の数字$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$のうち異なる$3$個の数字を並べて$3$桁の整数を作るとき，$6$の倍数は何通りあるか求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅲ)　次のデータは都市$\mathrm{A}$の$5$年間の猛暑日の日数のデータである．

$\mathrm{A}\text{：}412356$（単位は日）

同じ期間において都市$\mathrm{B}$の猛暑日の日数の標準偏差が$4$だった．$\mathrm{A}$の猛暑日の日数の分散を求め，猛暑日の日数の散らばりの度合いが大きいと考えられるのは，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のどちらなのか答えなさい．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$がある．正三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$から始めて，順に$n$番目の正三角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$から$n+1$番目の正三角形${\mathrm{A}}_{n+1}{\mathrm{B}}_{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}$を作ることを考える$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）．}$次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　辺${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n\text{，}$${\mathrm{C}}_n{\mathrm{A}}_n$の中点をそれぞれ${\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{B}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{C}}_{n+1}$とする．$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$r$を$0<r<1$を満たす実数とする．辺${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n\text{，}$${\mathrm{C}}_n{\mathrm{A}}_n$を$r:1-r$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{B}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{C}}_{n+1}$とする．$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の面積$S_n$を$r$と$n$を用いて表しなさい．

(ⅲ)　辺${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n\text{，}$${\mathrm{C}}_n{\mathrm{A}}_n$を$1:2$に外分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{B}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{C}}_{n+1}$とする．$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の周の長さを${\mathrm{T}}_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{T}_k$を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　円$C_1\text{：}{x}^2-4x+y^2-6y+9=0$がある．直線$y=x$に関して円$C_1$と対称な位置にある$C_2$の方程式を求めなさい．

(ⅱ)　$x\text{，}$$y$が不等式$x^2-4x+y^2-6y+9\leqq 0$を満たすとき，$y-x$の最大値と最小値を求めなさい．

(ⅲ)　$a$を実数とする．不等式$x^2-4x+y^2-6y+9<0\text{，}$$x^2-2ax+y^2-2ay+2a^2-1<0$が表す座標平面上の領域をそれぞれ$D_1\text{，}$$D_2$とする．$D_2$が$D_1$に含まれるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めなさい．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}$$(0,0,5)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,0,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,3,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(5,4,0)$をとる．$\mathrm{▵ABO}\text{，}$$\mathrm{▵ACO}\text{，}$$\mathrm{▵ACD}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}$とする．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}$の座標をそれぞれ求めなさい．また，$\overrightarrow{\mathrm{GH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HI}}$の内積を求めなさい．

(ⅱ)　線分$\mathrm{BD}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{AE}$上の点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}$と同一平面上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を成分で表しなさい．

(ⅲ)　線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{BF}$上に点$\mathrm{Q}$があり，$\mathrm{▵QAB}\text{，}$$\mathrm{▵QBD}\text{，}$$\mathrm{▵QDA}$の面積比が$3:2:5$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を成分で表しなさい．

【５】　次の問いに答えなさい．ただし，$\log$は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　$1<a<e$を満たす実数$a$に対して${\displaystyle {\int }_a^e}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x{(\log x)}^2}}=1$が成り立つとき，$a$の値を求めなさい．

(ⅱ)　$x>1$における曲線$y={(\log x)}^3$の接線$l$が原点$\mathrm{O}$を通るとき，$l$の方程式を求めなさい．

(ⅲ)　$t$を$t>1$を満たす実数とする．曲線$y={(\log x)}^3$上の点$\mathrm{P}$$(t,{(\log t)}^3)$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$g(t)$とする．実数$k$に対して，$t>1$における方程式$g(t)=k$が異なる$2$つの実数解をもつとき，$k$のとりうる値の範囲を求めなさい．

【６】　$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．袋$\mathrm{A}$には$1$から$100$までの番号が$1$つずつ書かれた$100$個のボールが，袋$\mathrm{B}$には$1$から$10$までの番号が$1$つずつ書かれた$10$個のボールがそれぞれ入っている．奇数の番号が書かれたボールは赤色，偶数の番号が書かれたボールは青色をしている．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　袋$\mathrm{A}$からボールを$1$個ずつ取り出していき，赤色のボールまたは$50$以下の番号が書かれたボールを取り出したとき終了とする．最大で何個のボールを取り出すことができるか答えなさい．ただし，取り出したボールは袋に戻さないものとする．

(ⅱ)　袋$\mathrm{B}$から$5$個のボールを取り出して$1$列に並べるとき，ボールの色の並べ方は全部で何通りあるか求めなさい．

(ⅲ)　袋$\mathrm{B}$から$\mathrm{8}$個のボールを取り出して$1$列に並べるとき，ボールの色の並べ方は全部で何通りあるか求めなさい．

(ⅳ)　袋$\mathrm{B}$から$4$個のボールを同時に取り出すとき，最も大きい番号が書かれているボールが青色で，他の$3$個のボールが赤色である確率を求めなさい．

【７】　複素数平面上において，複素数$\alpha =\sqrt{3}+i$が表す点を$\mathrm{A}\text{，}$複素数$\beta =2\sqrt{3}+2i$が表す点を$\mathrm{B}$とする．また，$x\text{，}$$y$を実数とし，複素数$z=x+yi$が表す点を$Z$とする．次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

(ⅰ)　$Z$が線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上を動くとき，$x\text{，}$$y$が満たす$1$次方程式を求めなさい．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{z-\beta }{z-\alpha }}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$が成り立つとき，$\mathrm{▵ABZ}$の面積を求めなさい．

(ⅲ)　$\mathrm{▵ABZ}$が正三角形となる$z$の値をすべて求めなさい．

【８】　$a$を正の実数とする．座標平面上に媒介変数$\theta$を用いて

$x=e^{-a\theta }\cos \theta \text{，}$$y=e^{-a\theta }\sin \theta$

と表される曲線$C$がある．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$における$C$の長さを$a$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$a=\sqrt{3}$とする．$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$C$上の点の$y$座標の最大値を求めなさい．

(ⅲ)　$a=1$とする．$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$C$の接線と$x$軸および$y$軸で囲まれた三角形の面積の最小値を求めなさい．

志望別問題選択一覧

国際資源学部　【１】，【３】，【４】，【５】

教育文化（理数教育コース除く）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

教育文化（理数教育コース）学部　【１】，【３】，【４】，【５】

医学部 　【５】，【６】，【７】，【８】

理工学部　【１】，【３】，【４】，【５】