2022　秋田大学　後期

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(ⅰ)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}\sqrt{4-x^2}\mathit{dx}$を求めなさい．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}\log (1+x^2)\mathit{dx}$を求めなさい．

(ⅲ)　$2$つの曲線$y=\sqrt{4-x^2}\text{，}$$y=\log (1+x^2)$および$2$直線$x=-1\text{，}$$x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．ただし，$\sqrt{3}>\log 2$である．

【２】　座標空間に$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(4,-1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,4,-4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-2,4,4)$がある．線分$\mathrm{BC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る直線に，点$\mathrm{O}$から垂線を下ろし，直線との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めなさい．

【３】　単位円$C$上の点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$と原点$\mathrm{O}$を結ぶ直線を$l$とし，$l$と平行な直線と$\mathrm{C}$が，異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わっているとする．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$が$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$のとき，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を両端とし，点$(0,1)$を通る$C$の弧の長さを求めなさい．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$が$(\cos \theta ,\sin \theta )$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\sin \theta \text{，}$$\cos \theta$を用いて表しなさい．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．