2022　福島大学　前期

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　次の値を求めなさい．

$\sqrt{{({\displaystyle \frac{115}{226}}-{\displaystyle \frac{157}{312}})}^2}+\sqrt{{({\displaystyle \frac{111}{226}}-{\displaystyle \frac{157}{312}})}^2}$

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$3$つの数

$4^{-2+{\log }_{2}3}\text{，}$${\log }_{16}8\text{，}$$\sin 75\mathrm{°}$

を小さい方から順に，不等号をもちいて表しなさい．

【２】　原点$\mathrm{O}$と座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(30,10)\text{，}$$\mathrm{B}$$(5,25)$に対し，線分$\mathrm{OB}$の中点を点$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，直線$\mathrm{BD}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t$および$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$をもちいて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{BD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0$であるとき，$t$の値を求めなさい．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{BD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0$であるとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めなさい．

(5)　$\overrightarrow{\mathrm{BD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0$であるとき，三角形$\mathrm{ODE}$の面積を求めなさい．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の二人がそれぞれ$1$個のさいころを$3$回投げ，$3$つの出た目を使って$3$桁の自然数をつくる．$\mathrm{A}$は$1$回目に出た目を百の位，$2$回目に出た目を十の位，$3$回目に出た目を一の位の数として$3$桁の自然数をつくる．$\mathrm{B}$は出た$3$つの目を百の位，十の位，一の位のいずれかとする$3$桁の自然数のうち最大となる数をつくる．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{A}$のつくることのできる$3$桁の自然数は何個あるか答えなさい．

(2)　$\mathrm{B}$のつくることのできる$3$桁の自然数は何個あるか答えなさい．

(3)　$\mathrm{B}$の$1$回目に出た目が$2$であったとき，$\mathrm{B}$のつくる$3$桁の自然数が$226$より小さくなる確率を求めなさい．

(4)　$\mathrm{A}$の$1$回目と$2$回目に出た目がそれぞれ$5$と$4$であり，$\mathrm{B}$の$1$回目に出た目が$4$であったとき，$\mathrm{B}$のつくる$3$桁の自然数が$\mathrm{A}$のつくる$3$桁の自然数より大きくなる確率を求めなさい．

【４】　関数$f(x)=2e^{-x}\sin x$がある．曲線$y=|f(x)|$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$x$軸で囲まれた図形について，$y$軸に近い順にその面積をそれぞれ$S_0\text{，}$$S_1\text{，}$$S_2\text{，}\cdots$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$S_0$の値を求めなさい．

(2)　非負の整数$k$に対して，$S_k$を$k$をもちいて表しなさい．

(3)　$T_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{S}_k$を$n$をもちいて表しなさい．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めなさい．

【４】　座標平面上に曲線$C\text{：}y=x^2+4$と点$\mathrm{A}$$(2,-1)$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{A}$から曲線$C$に引いた接線の方程式を$2$個求めなさい．

(2)　曲線$C$と(1)で求めた$2$個の接線が囲む図形の面積$S_1$を求めなさい．

(3)　曲線$C$上の$x$座標が$-3$である点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$を通る直線$l$は(1)で求めた$2$個の接線のうち傾きの絶対値が小さいものと平行であるとする．このとき，曲線$C$と直線$l$の囲む図形の面積$S_2$を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$x={\log }_{10}2\text{，}$$y={\log }_{10}3$とおくとき，次の各値を$x\text{，}$$y$を用いて表しなさい．

(ⅰ)　${\log }_{2}3$(ⅱ)　${\log }_{5}6$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　不等式$\sin \theta -{\displaystyle \frac{\tan \theta }{2}}>0$を解きなさい．ただし$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　不等式$k(x^2+x+1)>x+1$が全ての実数$x$について成り立つような実数$k$の値の範囲を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　次の方程式を複素数の範囲で解きなさい．

$(x^2+2x+1)(x^2+2x+9)+12=0$

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　定数$a\text{，}$$b$が$\underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{a\sqrt{x^2+2x+8}+b}{x-2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$を満たすとき$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^3}2x\sqrt{4-x}\mathit{dx}$を計算しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$は，漸化式

$a_1=2\text{．}$$a_{n+1}=2a_n+2$（ただし$n=1\text{．}2\text{．}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．一般項$a_n$を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$18$と$30$のどちらで割っても$7$余る$3$桁の自然数は何個あるか求め，それらの総和を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$1$から$6$までの自然数が等確率で出てくるサイコロを$3$回振るとき，以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　出た目の積が$5$の倍数になる確率を求めなさい．

(ⅱ)　出た目の積が$10$の倍数になる確率を求めなさい．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=10\text{，}$$\mathrm{CA}=9$を満たすとする．角$\mathrm{BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を表しなさい．

(2)　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を表しなさい．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AI}}\right|$を求めなさい．

【５】　関数$f(x)=x\sin x$について次の問いに答えなさい．

(1)　第$1$次導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めなさい．

(2)　$f(x)$は$x=0$で極小値を持つことを示しなさい．

(3)　$y=f(x)$のグラフの$0\leqq x\leqq \pi$の部分と$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めなさい．

(4)　$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．