2022　福島大学　後期

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　次の$x$の関数を微分しなさい．

$y=\sqrt[3]{x+2}{(x^2+1)}^{\frac{1}{3}}$

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$があり，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$である．$\mathrm{\angle BAC}$の角の二等分線が線分$\mathrm{BC}$と交わる交点を$\mathrm{D}$とするとき線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$\sin 2\theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとき，

${\sin }^3\theta \cos \theta +\sin \theta {\cos }^3\theta$

の値を求めなさい．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　座標平面上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$について，点$\mathrm{F}$$(1,0)$との距離$\mathrm{PF}\text{，}$$y$軸からの距離$\mathrm{PH}$の比の値を${\displaystyle \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めなさい．

【３】　定数$a\text{，}$$b$に対して，$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$とする．曲線$y=f(x)$と直線$y=3x$が異なる$3$点で交わるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　定数$A\text{，}$$B$に対して，方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．このとき，${\alpha }^2+{\beta }^2\text{，}$${\alpha }^4+{\beta }^4$を$A\text{，}$$B$をもちいて表しなさい．

(2)　以下の$\text{ア}$にはいる不等式を求めなさい．

$b>3$のとき，$a\text{，}$$b$のみたす条件は$b>3$かつ$\text{ア}$である．

(3)　(2)で定めた下線部が表す領域を$ab$平面上に図示しなさい．

(4)　$b<3$のとき，曲線$y=f(x)$と$y=3x$で囲まれた$2$つの図形の面積の和を$a\text{，}$$b$をもちいて表しなさい．

（編注）食農学類は(4)末尾に「ただし，$x^3$の原始関数の一つとして${\displaystyle \frac{x^4}{4}}$があることを必要に応じてもちいてよい．」と追記．

【４】　自然数$a\text{，}$$k$$\text{（}k\geqq 2\text{）}$に対し，$a$からはじまる$k$個の連続する自然数の和を$S(a,k)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$S(a,k)$を$a$と$k$の式で表しなさい．

(2)　$S(a,15)=540$のときの$a$の値を求めなさい．

(3)　$S(3,k)=1888$のときの$k$の値を求めなさい．

(4)　(2)で定めた$a$と(3)で定めた$k$の積の値を求めなさい．

(5)　$S(a,k)=3422$となる$a$と$k$の組み合わせを$3$組すべて求めなさい．

【５】　$n\text{，}$$k$を自然数，$n\geqq 2\text{，}$$1\leqq k\leqq n$とする．$n$個の袋には，$1$から$n$までの異なる数が書かれたカードが貼ってある．$k$の数が書かれたカードが貼ってある袋には白球が$k$個，赤球が$n-k$個入っている．また，$n$個の袋から袋を一つえらぶときその確率はどれも等しいとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$n=4$とする．$3$の数が書かれたカードが貼ってある袋から球を$1$個取り出して，その色を見てから取り出した袋に戻すという試行を$5$回行うとき，少なくとも$1$回は赤球が出る確率を求めなさい．

(2)　$n=9$とする．$3$の数が書かれたカードが貼ってある袋から球を$1$個取り出して，その色を見てから取り出した袋に戻すという試行を$5$回行うとき，白球が$3$回出る確率を求めなさい．

(3)　$n=4$とし，$4$個の袋から袋を一つえらぶ．その袋から球を$1$個取り出して，その色を見てから取り出した袋に戻すという試行を$5$回行う．このとき，白球が$3$回出る確率を求めなさい．

(4)　$n$個の袋から袋を一つえらぶ．その袋から球を$1$個取り出して，その色を見てから取り出した袋に戻すという試行を$2$回行う．このとき，赤球が$2$回出る確率を求めなさい．

(5)　$n$個の袋から袋を一つえらぶ．その袋から球を$1$個取り出して，その色を見てから取り出した袋に戻すという試行を$5$回行う．このとき，白球が$2$回出る確率$P_n$について極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$を求めなさい．

【１】(3)　${({\log }_{3}x)}^3-7{({\log }_{3}x)}^2+14{\log }_{3}x-8=0$をみたす$x$の値を求めなさい．

【５】　$n\text{，}$$k$を自然数，$n\geqq 2\text{，}$$1\leqq k\leqq n$とする．$n$個の袋には，$1$から$n$までの異なる数が書かれたカードが貼ってある．$k$の数が書かれたカードが貼ってある袋には白球が$k$個，赤球が$n-k$個入っている．また，$n$個の袋から袋を一つえらぶときその確率はどれも等しいとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$n=4$とする．$3$の数が書かれたカードが貼ってある袋から球を$1$個取り出して，その色を見てから取り出した袋に戻すという試行を$5$回行うとき，少なくとも$1$回は赤球が出る確率を求めなさい．

(2)　$n=9$とする．$3$の数が書かれたカードが貼ってある袋から球を$1$個取り出して，その色を見てから取り出した袋に戻すという試行を$5$回行うとき，白球が$3$回出る確率を求めなさい．

(3)　$n=4$とし，$4$個の袋から袋を一つえらぶ．その袋から球を$1$個取り出して，その色を見てから取り出した袋に戻すという試行を$5$回行う．このとき，白球が$3$回出る確率を求めなさい．

(4)　$n$個の袋から袋を一つえらぶ．その袋から球を$1$個取り出して，その色を見てから取り出した袋に戻すという試行を$2$回行う．このとき，赤球が$2$回出る確率を求めなさい．