2022　筑波大学　前期

【１】　$t\text{，}$$p$を実数とし，$t>0$とする．$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とし点$\mathrm{A}$$(1,t)$を通る円を$C_1$とする．また，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線を$l$とする．直線$x=p$を軸とする$2$次関数のグラフ$C_2$は，$x$軸と接し，点$\mathrm{A}$において直線$l$とも接するとする．

(1)　直線$l$の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　$p$を$t$を用いて表せ．

(3)　$C_2$と$x$軸の接点を$\mathrm{M}$とし，$C_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{N}$とする．$t$が正の実数全体を動くとき，三角形$\mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．

【２】　整数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$を，さいころをくり返し投げることにより，以下のように定めていく．まず，$a_1=1$とする．そして，正の整数$n$に対し，$a_{n+1}$の値を，$n$回目に出たさいころの目に応じて，次の規則で定める．

（規則）$n$回目に出た目が$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$なら$a_{n+1}=a_n$とし，$5\text{，}$$6$なら$a_{n+1}=-a_n$とする．

たとえば，さいころを$3$回投げ，その出た目が順に$5\text{，}$$3\text{，}$$6$であったとすると，$a_1=1\text{，}$$a_2=-1\text{，}$$a_3=-1\text{，}$$a_4=1$となる．

　$a_n=1$となる確率を$p_n$とする．ただし，$p_1=1$とし，さいころのどの目も，出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$であるとする．

(1)　$p_2\text{，}$$p_3$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．

(3)　$p_n\leqq 0.5000005$を満たす最小の正の整数$n$を求めよ．

　ただし，$0.47<{\log }_{10}3<0.48$であることを用いてよい．

【３】　$0<t<1$とする．平行四辺形$\mathrm{ABCD}$について，線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{D}}_1$とする．さらに，点${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2\text{，}$${\mathrm{D}}_2$および${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{B}}_3\text{，}$${\mathrm{C}}_3\text{，}$${\mathrm{D}}_3$を次の条件を満たすように定める．

（条件）$k=1\text{，}$$2$について，点${\mathrm{A}}_{k+1}\text{，}$${\mathrm{B}}_{k+1}\text{，}$${\mathrm{C}}_{k+1}\text{，}$${\mathrm{D}}_{k+1}$は，それぞれ線分${\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k\text{，}$${\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k\text{，}$${\mathrm{C}}_k{\mathrm{D}}_k\text{，}$${\mathrm{D}}_k{\mathrm{A}}_k$を$t:1-t$に内分する．

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$を満たす実数$p\text{，}$$q\text{，}$$x\text{，}$$y$を$t$を用いて表せ．

(2)　四角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$は平行四辺形であることを示せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$と$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3}$が平行となるような$t$の値を求めよ．

【４】　$0<a<4$とする．曲線

$C_1\text{：}y=4{\cos }^{2}x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$

$C_2\text{：}y=a-{\tan }^{2}x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

は，ちょうど$2$つの共有点をもつとする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　曲線$C\text{：}y=(x+1)e^{-x}$$\text{（}x>-1\text{）}$上の点$\mathrm{P}$における法線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$$(1,0)$との距離を$d(t)$とする．

(1)　$d(t)$を$t$を用いて表せ．

(2)　$x\geqq 0$のとき$e^x\geqq 1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$であることを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，$d(t)$の最大値を求めよ．

【６】　$i$は虚数単位とする．次の条件(Ⅰ)，(Ⅱ)をどちらも満たす複素数$z$全体の集合を$S$とする．

(Ⅰ)　$z$の虚部は正である．

(Ⅱ)　複素数平面上の点$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}(1-iz)\text{，}$$\mathrm{C}(z^2)$は一直線上にある．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$1$でない複素数$\alpha$について，$\alpha$の虚部が正であることは，${\displaystyle \frac{1}{\alpha -1}}$の虚部が負であるための必要十分条件であることを示せ．

(2)　集合$S$を複素数平面上に図示せよ．

(3)　$w={\displaystyle \frac{1}{z-1}}$とする．$z$が$S$を動くとき，$|w+{\displaystyle \frac{i}{\sqrt{2}}}|$の最小値を求めよ．

問題選択一覧

数学I・II・A・B　【１】,【２】,【３】から２題選択

数学I・II・III・A・B　【１】,【２】,【３】から２題選択,【４】,【５】,【６】から２題選択

　総合選抜文系,社会学類　数学I・II・A・Bを解答

　国際総合学類,障害科学類　数学I・II・A・Bまたは数学I・II・III・A・Bを選択して解答

　それ以外の学類　数学I・II・III・A・Bを解答