2022　筑波大学　推薦理工学群工学システム,応用理工学類

【１】　

問１　次の不定積分および定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^2-2x-2}{x^3-1}}\mathit{dx}$

【１】　

問１　次の不定積分および定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle \int }\log (x+\sqrt{x^2+1})\mathit{dx}$

【１】

問１　次の不定積分および定積分を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^2}{\displaystyle \frac{2x+3}{x^2+2x+4}}\mathit{dx}$

【１】

問２　$x^2+{(y-1)}^2\leqq 1$かつ$y\leqq x$で定まる平面上の領域を$D$とする．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　$D$を直線$y=x$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【２】

問１　$p\text{，}$$q$を実数とする．自然数$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，数列$\{a_n\}$を

$a_1=2\text{，}$$a_2=4\text{，}$$a_3=20\text{，}$$a_4=88\text{，}$$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+10a_n+q$

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$p$および$q$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}+\gamma =\beta (a_{n+1}-\alpha a_n+\gamma )$を満たす実数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の組$(\alpha ,\beta ,\gamma )$を$2$組求めよ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】

問２　四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{AC}=5\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BCA}=\mathrm{\angle CBO}=60\mathrm{°}$である．

　以下の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{OC}$の長さを求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$および$\overrightarrow{\mathrm{CO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$\mathrm{O}$から面$\mathrm{ABC}$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．実数$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表されるとき，$s\text{，}$$t\text{，}$$u$の値を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．