2022　筑波大学　推薦理工学群数学類

【１】　曲線

$C_1\text{：}y=|\log (x-{\displaystyle \frac{3}{2}})+\log x|$$(x>{\displaystyle \frac{3}{2}})$

$C_2\text{：}y=|\log (x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\left)\right|+|\log x|$$(x>{\displaystyle \frac{3}{2}})$

について以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$の概形をかけ．

(2)　${\displaystyle \frac{3}{2}}<a<{\displaystyle \frac{5}{2}}$とする．曲線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$x=a$によって囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．極限値$\underset{a\to \frac{3}{2}+0}{\lim }S(a)$を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$を展開せよ．

(2)　方程式

$m^3+n^3-6mn=p-8$

を満たす正の整数$m\text{，}$$n$と素数$p$の組$(m,n,p)$をすべて求めよ．

【３】　$0$以上の整数$k$について

$2x+y=k\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$

を満たす整数の組$(x,y)$の個数を$p_k$とする．また，

$2x+y+z=k\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$z\geqq 0$

を満たす整数の組$(x,y,z)$の個数を$q_k$とする．

(1)　$p_0\text{，}$$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$q_0\text{，}$$q_1\text{，}$$q_2$を求めよ．

(2)　$p_k$を$k$の式で表せ．

(3)　$q_k={\displaystyle \sum _{i=0}^k}{p}_i$であることを示し，それを用いて$q_k$を$k$の式で表せ．

(4)　すべての$0$以上の整数$N$に対して${\displaystyle \sum _{k=0}^{2N}}{\displaystyle \frac{1}{q_k}}<3$が成り立つことを示せ．