2022　筑波大学　推薦医学群医学類

【１】　次の問に答えなさい．

問１　平面上におけるベクトル$\overrightarrow{a}=(-7,1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(4,3)$について，以下の小問に答えなさい．

(小問１)　ベクトル$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$をベクトル$\overrightarrow{x}=(-1,2)\text{，}$$\overrightarrow{y}=(-2,1)$を用いて表わしなさい．

(小問２)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$を求めなさい．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$とする．

【１】　次の問に答えなさい．

問２　次の両条件をみたす球面$S$の方程式を求めなさい．

・球面$S$の中心$\mathrm{C}$は原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{D}$$(1,-1,4)$を通る直線上にあり，中心$\mathrm{C}$は原点$\mathrm{O}$に一致しない．

・ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に垂直な直線は球面$S$の中心$\mathrm{C}$および球面$S$上の点$\mathrm{P}$$(5,-7,6)$を通る．

【２】　次の問に答えなさい．ただし，小数点第$3$位まで求めること．

問１　$5$人の患者の検査$\mathrm{X}$と検査$\mathrm{Y}$の計測結果は右の表の通りであった．

患者$i$$\text{（}i=1\text{，}\cdots \text{，}$$5\text{）}$の検査$X$の検査値を$x_i\text{，}$患者$i$の検査$\mathrm{Y}$の検査値を$y_i$とする．右記の計測結果に基づき，未知の患者$n$の検査$\mathrm{Y}$の検査値$y_n$を検査値$x_n$に基づき次の式$\text{①}$で推定する．

$y_n=A{x}_n+B\text{，}$$A={\displaystyle \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{{\sigma }_{\mathrm{X}}}^2}}\text{，}$$B={\mu }_{\mathrm{Y}}-A{\mu }_{\mathrm{X}}\text{，}$$X=(x_1,\cdots ,x_5)\text{，}$$Y=(y_1,\cdots ,y_5)$$\cdots \text{①}$

ここで，それぞれ${\mu }_{\mathrm{X}}$は$x_i$の平均，${\mu }_{\mathrm{Y}}$は$y_i$の平均，${{\sigma }_{\mathrm{X}}}^2$は$x_i$の分散，$\mathrm{Cov}(X,Y)$は$X$と$Y$の共分散を表す．このとき，以下の問いに答えなさい．

表の$5$人の患者の検査結果を全て利用して，未知の患者$n$の検査値$\mathrm{Y}$の値を検査値$\mathrm{X}$の値から推定する式$\text{①}$を作成しなさい．また，検査値$\mathrm{X}$の値が$7.0$の患者について予測される検査値$\mathrm{Y}$の値を求めなさい．

【２】　次の問に答えなさい．ただし，小数点第$3$位まで求めること．

問２　ある人が特定の疾患$\mathrm{D}$に罹患しているかどうかを検査$\mathrm{T}$に基づいて調べたい．ここで，人には個体差があり，真に疾患$\mathrm{D}$に罹患している人全員が検査$\mathrm{T}$で陽性になるとは限らない．同様に，検査の精度には限界があり，検査$\mathrm{T}$で陽性になった人全員が疾患$\mathrm{D}$に罹患しているとは限らない．

各単語の定義は以下の通りとする．

感度：真に疾患$\mathrm{D}$に罹患している人のうち検査$\mathrm{T}$で陽性になる人の割合

特異度：真に疾患$\mathrm{D}$に罹患していない人のうち検査$\mathrm{T}$で陰性になる人の割合

陰性的中率：検査$\mathrm{T}$で陰性になる人のうち真に疾患$\mathrm{D}$に罹患していない人の割合

このとき，以下の小問に答えなさい．

(小問１)　$100$人に$1$人が疾患$\mathrm{D}$に罹患していることが知られており，検査$\mathrm{T}$の感度が$99\mathrm{\%}$かつ陰性的中率が$99\mathrm{\%}$であると仮定する．検査$\mathrm{T}$を受けて陽性だったとき，真に疾患$\mathrm{D}$に罹患している条件付き確率を求めなさい．

(小問２)　$100$人に$1$人が疾患$\mathrm{D}$に罹患していることが知られており，検査$\mathrm{T}$の感度が$99\mathrm{\%}$かつ特異度が$99\mathrm{\%}$であると仮定する．検査$\mathrm{T}$を受けて陽性だったとき，真に疾患$\mathrm{D}$に罹患している条件付き確率を求めなさい．

【３】　図のように，半径$1$の円$C$の周りに，互いに半径の等しい$n$個の円$C_1\text{，}$$C_2\text{，}\cdots \text{，}$$C_n$が外接し，さらに，円$C_1$と$C_2\text{，}$円$C_2$と$C_3\text{，}\cdots \text{，}$円$C_{n-1}$と$C_n\text{，}$円$C_n$と$C_1$が互いに外接して，ちょうど$1$周して円$C$を囲む．互いに半径の等しい$n$個の円$C_1\text{，}$$C_2\text{，}\cdots \text{，}$$C_n$の半径を$r_n$とするとき，次の問に答えなさい．

問１　$r_n$を$n$と$\pi$を用いて表しなさい．

問２　次を証明しなさい．

$\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot r_n=\pi$

問３　次の極限値を求めなさい．

$\underset{n\to \infty }{\lim }n(\pi -n{r}_n)$

必要ならば次を用いてもよい．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\theta -{\displaystyle \frac{1}{6}}{\theta }^3<\sin \theta <\theta \text{．}$