2022　東京医科歯科大学　前期

【１】　$n$を自然数とする．整数$i\text{，}$$j$に対し，$xy$平面上の点${\mathrm{P}}_{i,j}$の座標を

$(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}i+\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}j,\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}i+\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}j)}$

で与える．さらに，$i\text{，}$$j$を動かしたとき，${\mathrm{P}}_{i,j}$の取り得る異なる座標の個数を$S_n$とする．このとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$n=3$のとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_{0,0}{\mathrm{P}}_{0,1}{\mathrm{P}}_{0,2}$および$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_{1,0}{\mathrm{P}}_{1,1}{\mathrm{P}}_{1,2}$を同一座標平面上に図示せよ．

(2)　$S_4$を求めよ．

(3)　平面上の異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に対して，$\mathrm{AQ}=\mathrm{BQ}=1$であるような同一平面上の点$\mathrm{Q}$はいくつあるか．$\mathrm{AB}=d$の値で場合分けして答えよ．

(4)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　$xy$平面上の放物線$P\text{：}{y}^2=4x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$それぞれにおいて$P$への接線と直交する直線を$n_{\mathrm{A}}\text{，}$$n_{\mathrm{B}}$とする．$a$を正の数として，点$\mathrm{A}$の座標を$(a,\sqrt{4a})$とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$n_{\mathrm{A}}$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と直線$y=\sqrt{4a}$とがなす角の$2$等分線のひとつが，$n_{\mathrm{A}}$に一致するとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)のとき，点$\mathrm{B}$を通る直線$r_{\mathrm{B}}$を考える．$r_{\mathrm{B}}$と直線$\mathrm{AB}$とがなす角の$2$等分線のひとつが，$n_{\mathrm{B}}$に一致するとき，$r_{\mathrm{B}}$の方程式を$a$を用いて表せ．

(4)　(3)のとき，直線$\mathrm{AB}$と放物線$P$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$P$と直線$y=\sqrt{4a}\text{，}$直線$x=-1$および(3)の$r_{\mathrm{B}}$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$a$を変化させたとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の最大値を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=f(x)$$\text{（}0\leqq x<1\text{）}$が次の条件を満たすとする．

•$f(0)=0$

・$0<x<1$のとき$f^{\prime }(x)>0$

・$0<a<1$を満たすすべての実数 $a$について，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,f(a))$における接線と直線$x=1$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{PQ}=1$

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}(1-x)f^{\prime }(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸，直線$x=1\text{，}$直線$y=f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$xy$平面上の放物線$P\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$上に異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$それぞれにおいて$P$への接線と直交する直線を$n_{\mathrm{A}}\text{，}$$n_{\mathrm{B}}$とする．$a$を正の数として，点$\mathrm{A}$の座標を$(a,{\displaystyle \frac{a^2}{4}})$とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$n_{\mathrm{A}}$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と直線$x=a$とがなす角の$2$等分線のひとつが，$n_{\mathrm{A}}$に一致するとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)のとき，点$\mathrm{B}$を通る直線$r_{\mathrm{B}}$を考える．$r_{\mathrm{B}}$と直線$\mathrm{AB}$とがなす角の$2$等分線のひとつが，$n_{\mathrm{B}}$に一致するとき，$r_{\mathrm{B}}$の方程式を$a$を用いて表せ．

(4)　(3)のとき，直線$\mathrm{AB}$と放物線$P$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$P$と直線$x=a\text{，}$直線$y=-1$および(3)の$r_{\mathrm{B}}$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$a$を変化させたとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の最大値を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=f(x)$$\text{（}0<x\leqq 1\text{）}$が次の条件を満たすとする．

•$f(1)=0$

・$0<x<1$のとき$f^{\prime }(x)>0$

・$0<a<1$を満たすすべての実数 $a$について，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,f(a))$における接線と直線$x=1$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{PQ}=1$

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^1}x{f}^{\prime }(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸，$y$軸，直線$y=f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$で囲まれた図形の面積を求めよ．