2022　東京農工大学　前期MathJax

【１】　$i$を虚数単位とし，$\mathrm{O}$を原点とする複素数平面上で，$1+i\text{，}$$-1+3i$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$m$は$m>1$を満たす実数とし，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{OA}$を$m:1$に外分する点とする．$\mathrm{▵OBC}$の面積が$4$であるとき，次の問いに答えよ．

〔１〕　半直線$\mathrm{OA}$から半直線$\mathrm{OB}$までの回転角を$\theta$とおく．$\sin \theta$の値を求めよ．

〔２〕　$m$の値を求めよ．

〔３〕　$\mathrm{▵OBC}$の内接円について，中心を表す複素数を$z\text{，}$半径を$r$とする．$z$と$r$の値を求めよ．

【２】　正の奇数を小さいものから順に並べた数列を，次のように群に分ける．ただし，第$n$群には$(n^2-2n+2)$個の奇数が入るものとする．

$\begin{array}{ccccccc}1& |& 3,5& |& 7,9,11,13,15& |17,& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}& & \end{array}$

　第$n$群にあるすべての奇数の和を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

〔１〕　第$n$群の最初の奇数を求めよ．

〔２〕　数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

〔３〕　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n^5}}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=2x^3-5x^2-4x+1$について，次の問いに答えよ．

〔１〕　関数$f(x)$の極値を求めよ．また，極値をとるときの$x$の値を求めよ．

〔２〕　$a$を実数とする．区間$x\leqq a$における$f(x)$の最大値と，最大値をとるときの$x$の値を$a$を用いて表せ．

〔３〕　$b$を実数とする．区間$x\leqq b$において，常に$f(x)\leqq 2b$が成り立つような$b$の範囲を求めよ．

【４】　$xy$平面上の曲線$y=\log (1+x^2)$を$C$とおく．曲線$C$上の点$(t,\log (1+t^2))$における接線を$l$とする．直線$l$と直線$x=1$の交点の$y$座標を$g(t)$とおく．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．

〔１〕　$g(t)$を$t$で表せ．

〔２〕　$g(t)$が最小値をとるときの$t$を$a$とおく．

(1)　$a$および$g(a)$の値を求めよ．

(2)　$t=a$のとき，曲線$C\text{，}$直線$l$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．