2022　東京農工大学　後期工学部MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(2,-1,-2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(p,q,r)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,1,c)$がある．点$\mathrm{B}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす．点$\mathrm{B}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に垂直な平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{C}$は平面$\alpha$上にある．次の問いに答えよ．

〔１〕　$c$の値を求めよ．

〔２〕　$q=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$r>0$であるとき，$p$と$r$の値を求めよ．

〔３〕　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の最大値を求めよ．また，最大値をとるときの$p\text{，}$$q\text{，}$$r$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

〔１〕　$xy$平面において，媒介変数表示

$x=t^2-1\text{，}$$y=\sqrt{2}(t^3-t)$$\text{（}-1\leqq t\leqq 1\text{）}$

で表される曲線を$C$とする．曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

〔２〕　$s$は$0<s<{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$を満たす実数とする．$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(s^2-1,\sqrt{2}(s^3-s))$がある．$\mathrm{▵OPQ}$の$\mathrm{\angle Q}$の大きさを$\theta$とおく．$\tan \theta$の最小値を求めよ．また，最小値をとるときの$s$の値を求めよ．