2022　東京工業大学　前期

【１】　$a\text{，}$$b$を実数とし，$f(z)=z^2+az+b$とする．$a\text{，}$$b$が

$\left|a\right|\leqq 1\text{，}$$\left|b\right|\leqq 1$

を満たしながら動くとき，$f(z)=0$を満たす複素数$z$がとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ．

【２】　$3$つの正の整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の最大公約数が$1$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a+b+c\text{，}$$bc+ca+ab\text{，}$$abc$の最大公約数は$1$であることを示せ．

(2)　$a+b+c\text{，}$$a^2+b^2+c^2\text{，}$$a^3+b^3+c^3$の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ．

【３】　$\alpha$は$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．$\mathrm{\angle A}=\alpha$および$\mathrm{\angle P}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす直角三角形$\mathrm{APB}$が，次の$2$つの条件(a)，(b)を満たしながら，時刻$t=0$から時刻$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$まで$xy$平面上を動くとする．

(a)　時刻$t$での点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標は，それぞれ$\mathrm{A}$$(\sin t,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,\cos t)$である．

(b)　点$\mathrm{P}$は第一象限内にある．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$はある直線上を動くことを示し，その直線の方程式を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　時刻$t=0$から時刻$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のりを$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$xy$平面内において，連立不等式

$x^2-x+y^2<0\text{，}$$x^2+y^2-y<0$

により定まる領域を$D$とする．このとき，点$\mathrm{P}$は領域$D$には入らないことを示せ．

【４】　$a$は正の実数とする．複素数$z$が$|z-1|=a$かつ$z\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たしながら動くとき，複素数平面上の点$w={\displaystyle \frac{z-3}{1-2z}}$が描く図形を$K$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$K$が円となるための$a$の条件を求めよ．また，そのとき$K$の中心が表す複素数と$K$の半径を，それぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$a$が(1)の条件を満たしながら動くとき，虚軸に平行で円$K$の直径となる線分が通過する領域を複素数平面上に図示せよ．

【５】　$a$は$0<a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす実数とし，$f(x)={\displaystyle \frac{4}{3}}\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+ax)\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-ax)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　次の等式(＊)を満たす$a$がただ$1$つ存在することを示せ．

(＊)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=1$

(2)　$0\leqq b<c\leqq 1$を満たす実数$b\text{，}$$c$について，不等式

$f(b)(c-b)\leqq {\displaystyle {\int }_b^c}f(x)\mathit{dx}\leqq f(c)(c-b)$

が成り立つことを示せ．

(3)　次の試行を考える．

[試行]　$n$個の数$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$を出目とする，あるルーレットを$k$回まわす．

　この[試行]において，各$i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$について$i$が出た回数を$S_{n,k,i}$とし，

(＊＊)　$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_{n,k,i}}{k}}={\displaystyle {\int }_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}}f(x)\mathit{dx}$

が成り立つとする．このとき，(1)の等式(＊)が成り立つことを示せ．

(4)　(3)の[試行]において出た数の平均値を$A_{n,k}$とし，$A_n=\underset{k\to \infty }{\lim }{A}_{n,k}$とする．(＊＊)が成り立つとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{A_n}{n}}$を$a$を用いて表せ．