2022　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{BC}$を$3$等分した点を$\mathrm{B}$に近い方から順に${\mathrm{M}}_1\text{，}$${\mathrm{M}}_2$とし，さらに$\mathrm{C}={\mathrm{M}}_3$とする．また，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3$に対して，三角形$\mathrm{AB}{\mathrm{M}}_k$の重心を${\mathrm{G}}_k$とおく．$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}\text{，}$$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{M}}_k}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{G}}_k}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}\text{，}$$k$を用いて表せ．

(2)　$3$点${\mathrm{G}}_1\text{，}$${\mathrm{G}}_2\text{，}$${\mathrm{G}}_3$が同一直線上にあることを示せ．

(3)　次が成り立つことを示せ．

${|\overrightarrow{{\mathrm{G}}_1{\mathrm{G}}_2}+\overrightarrow{{\mathrm{G}}_2{\mathrm{G}}_3}|}^2=2({\left|\overrightarrow{{\mathrm{G}}_1{\mathrm{G}}_2}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{{\mathrm{G}}_2{\mathrm{G}}_3}\right|}^2)\text{，}$

${|\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{G}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{G}}_2}+\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{G}}_3}|}^2<3({\left|\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{G}}_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{G}}_2}\right|}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{G}}_3}|}^2)$

【２】　各面に$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$の数字の$1$つずつが重複なく描かれたサイコロが$3$つと，表に$+\text{，}$裏に$\times$の記号が区別できるように描かれたコインが$2$枚ある．これらすべてを投げることを$1$回の試行と呼ぶことにする．

　$1$回の試行で出た$3$つの数字と$2$つの記号を数字，記号，数字，記号，数字の順に並べて作ることができるすべての数式を構成し，それらを計算して得られる値の集合$S$について考える．

　たとえば，サイコロを$3$つ投げて出た数字が$2$と$3$と$5$で，コイン$2$枚を投げて$+$と$\times$が$1$つずつ出たとき，

$2+3\times 5=17\text{，}$$2\times 3+5=11\text{，}$$5\times 2+3=13$

などの数式が得られ，$S=\{11,13,17\}$となる．以下の問いに答えよ．

(1)　サイコロを$3$つ投げたときに$2$が$2$つと$3$が$1$つ出る確率$p$と，コインを$2$枚投げたときに$+$と$\times$が$1$つずつ出る確率$q$をそれぞれ求めよ．

(2)　$1$回の試行で得られる$S$に含まれる値がすべて偶数となる確率を求めよ．

(3)　$1$回の試行で得られる$S$に奇数が含まれる確率を求めよ．

(4)　$1$回の試行で得られた$S$に$27$が含まれていたとする．このとき，サイコロの出た数字に$3$が含まれていた確率を求めよ．

【３】　$t$を正の実数として，関数$f(x)=e^{-x^2}$について，曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線を$l$とおく．また，$l$と$x$軸との交点の$x$座標を$a$とおき，$l$と$y$軸との交点の$y$座標を$b$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の極値，変曲点，極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　実数$t$が$t>0$の範囲を動いたときの$b$の最大値を求めよ．

(3)　実数$t$が$t>0$の範囲を動いたときの$b-a$の最大値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$について，次の不等式が成り立つことを示せ．また，等号が成立する$x$の値を答えよ．

$1+x\leqq {(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x)}^2$

(2)　$0<x<1$を満たすすべての実数$x$について，次の不等式が成り立つことを示せ．

${(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2)}^2<1+x$

(3)　$\sqrt{17}$の値を小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．