2022　東京海洋大学　前期海洋生命科,海洋資源環境学部

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$次関数$f(x)=x^3-12x^2+41x$に対して，$f^{\prime }(x)=0$となる$x$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$x$の値の最小値を$x_1\text{，}$最大値を$x_2$とする．$x_1$以上$x_2$以下のすべての整数$n$に対して$(n,f(n))$を求めよ．

(3)　$3$次方程式$x^3-12x^2+41x-m=0$の$3$つの解がいずれも整数となるようなすべての$m$と，それぞれの$m$に対する解を求めよ．

【２】　実数の定数$a$に対して，$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を次のように定義する．

$f(x)=x^2+4x-a^2-2a\text{，}$

$g(x)=-x^2-2ax$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の最小値および$g(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．

(2)　すべての実数$x$に対して$f(x)>g(x)$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)=c$と$g(x)=c$がいずれも異なる$2$つの実数解をもつような$c$が，すべての$a$に対して存在することを示せ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数，$f(x)$は$x$の整式で次数が$2$以下とし，次の等式を考える．

$f(x)=x^2+ax+b+{\displaystyle {\int }_c^x}f(t)\mathit{dt}$$\cdots$(＊)

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の次数が$0$または$2$の場合には等式(＊)が成り立たないことを示せ．

(2)　$f(x)$を$x$と$a$を用いて表せ．

(3)　$b$を$a$と$c$を用いて表せ．この式が$a$についての恒等式となるように$b$と$c$の値を求めよ．

【４】　$10$から$49$までの整数が書かれた$40$枚の番号札が入った箱がある．この箱から複数の番号札を同時に引くとき，このうちの$2$枚の番号札について，十の位どうしまたは一の位どうしが一致するとき，条件(A)を満たすということにする．例えば，$12\text{，}$$32\text{，}$$35$の$3$枚を引いたときには，条件(A)を満たす$2$枚の番号札の組合せは$(12,32)$と$(32.35)$の$2$組含まれる．このとき次の問いに答えよ．

(1)　箱から$2$枚の番号札を同時に引くとき，その組合せが条件(A)を満たす確率を求めよ．

(2)　箱から$4$枚の番号札を同時に引くとき，それらの中に条件(A)を満たす$2$枚の番号札の組合せが少なくとも$1$組含まれる確率を求めよ．

(3)　箱から$3$枚の番号札を同時に引くとき，それらの中に条件(A)を満たす$2$枚の番号札の組合せがちょうど$k$組含まれる確率を$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3$の各々について求めよ．

【５】　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が$4\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OB}}+5\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2$を${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2$および$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心が$\mathrm{O}$に一致する場合を考える．その外接円の半径が$1$であるとき，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(3)　(2)のとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．