2022　東京海洋大学　前期海洋工学部

【１】　$0\leqq \theta <2\pi$を満たす$\theta$に対して，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(1+\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{B}$$(2\cos 2\theta ,2\sin 2\theta )$をとる．

(1)　$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$を動くとき，$\mathrm{A}$の軌跡を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{OA}$の長さを$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$を用いて表せ．

(3)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\mathrm{▵AOB}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　(3)のとき，$S=2\sin \theta$となる$\theta$の値を求めよ．

【２】　座標平面上で，点$(s,t)$から放物線$y=x^2-3x-2$へ異なる$2$本の接線が引けるとき，接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．ただし，$x$座標が大きい方を$\mathrm{A}$とする．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$x$座標を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さ$L$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$(s,t)$が直線$y=-3x-2$の上を動くとき，$s\geqq 1$での$L$の最小値を求めよ．

【３】　図のような六面体$\mathrm{ABCDE}$の辺上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は，頂点$\mathrm{A}$を出発点とし，$1$回の移動で，そのときにいる頂点から$1$辺で結ばれた隣の頂点のいずれか$1$つに等確率で移動する．ただし，同じ頂点に留まることはないとする．$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$\mathrm{P}$が$n$回目の移動後に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$にいる確率を，それぞれ$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n\text{，}$$d_n\text{，}$$e_n$とする．例えば，$\mathrm{A}$から$1$辺で結ばれた隣の頂点とは，$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$であり，$1$回目の移動で$\mathrm{P}$はこのいずれか$1$つに等確率で移動する．従って，$a_1=e_1=0\text{，}$$b_1=c_1=d_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$である．

(1)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$c_2\text{，}$$d_2\text{，}$$e_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}\text{，}$$c_{n+1}\text{，}$$d_{n+1}\text{，}$$e_{n+1}$を，$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n\text{，}$$d_n\text{，}$$e_n$を用いて表せ．

(3)　数学的帰納法を用いて，$b_n=c_n=d_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを証明せよ．

(4)　$q_n=b_{n+1}-b_n$とおくとき，$q_n$を$n$を用いて表せ．

(5)　$n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}\cdots$に対して，$a_n\text{，}$$b_n$を$n$を用いて表せ．

【４-Ⅰ】　実数$a$に対して，$f(a)$を次で定める．

$f(a)={\displaystyle {\int }_a^{a+1}}|x^2-1|\mathit{dx}-{\displaystyle {\int }_a^{a+1}}\left|\right|x|-1|\mathit{dx}$

(1)　$f(-2)$と$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$の値を求めよ．

(2)　$a$の値により場合分けして，$f(a)$を求めよ．

(3)　$f(a)$の最小値を求めよ．

【４-Ⅱ】　$e$を自然対数の底とする．$1<a<e$を満たす実数$a$に対して，曲線$C\text{：}y=e^x$と直線$l\text{：}y=a$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S_1$とし，$C$と$l$および直線$x=1$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．

(1)　$C$と$l$の交点の座標を求めよ．

(2)　$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．

(3)　$a$が$1<a<e$の範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．