2022　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　箱$\mathrm{A}$には$3$つの数$0\text{，}$$1\text{，}$$2$がそれぞれ$1$つずつ書かれた$3$枚のカードが入っている．同じように箱$\mathrm{B}$には$1\text{，}$$2\text{，}$$3$と書かれた$3$枚のカード，箱$\mathrm{C}$には$2\text{，}$$3\text{，}$$4$と書かれた$3$枚のカードが入っている．今，それぞれの箱からでたらめに$1$枚ずつカードを取り出し，書かれた$3$つの数の積を$N$とする．つまり，箱$\mathrm{A}$から$a\text{，}$箱$\mathrm{B}$から$b\text{，}$箱$\mathrm{C}$から$c$のカードを取り出したとき，$N=a\times b\times c$とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$N$が偶数になる確率を求めなさい．

(2)　$N$が$3$の倍数になる確率を求めなさい．

(3)　$N$が$6$の倍数になる確率を求めなさい．

(4)　$N$が$3$の倍数であるとき，$N$が偶数である条件付き確率を求めなさい．

【２】　座標空間内に$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,-1,2)$をとり，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含む平面を$\alpha$とする．また，$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{H}$$(p,q,r)$を，$\mathrm{OH}\perp \alpha$となるようにとる．ここで$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は実数とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$p$を用いて$q$と$r$を表しなさい．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OH}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OH}}$であることを利用してよい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たす実数$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を，$p$を用いて表しなさい．

(3)　前問(2)において，$\mathrm{H}$が$\alpha$上にあるとき，$p$の値および$\mathrm{H}$の座標を求めなさい．ただし，$\mathrm{H}$が$\alpha$上にあるとき$s+t+u=1$が成り立つことを利用してよい．

【３】　$2$以上の整数$n$に対し，$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^n}{x^2+1}}\mathit{dx}$とおく．下の問いに答えなさい．

(1)　$I_2$を求めなさい．

(2)　$x^{n+2}=x^n(x^2+1)-x^n$を利用することにより，$I_{n+2}$を，$I_n$と$n$を用いて表しなさい．

(3)　$I_4\text{，}$$I_6$を求めなさい．

(4)　前問(3)を用いて，${\displaystyle \frac{8}{3}}<\pi <{\displaystyle \frac{52}{15}}$であることを示しなさい．

【４】　関数$f(x)=4{\cos }^{2}x+4\sin x-1$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$を考える．下の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)=0$となる$x$の値を求めなさい．

(2)　$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値を求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)$と$3$つの直線$y=0\text{，}$$x=0\text{，}$$x={\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．