2022　福井大学　後期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$-\pi <\theta <\pi$のとき，

${\displaystyle \frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$

であることを示せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CA}=5$となる$\mathrm{▵ABC}$の$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とおくとき，線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{3^n{a}_n+6}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間において，$x$軸上の点$(h,0,0)$を通り，$x$軸に垂直な平面上に一直線上にない$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある$\text{（}h>0\text{）．}$ここで，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$T$とおく．また，$x$軸上の点$(x,0,0)$を通り，$x$軸に垂直な平面と四面体$\mathrm{OABC}$との共通部分として得られる三角形の面積を$S(x)$とおく$\text{（}0<x\leqq h\text{）．}$

$v={\displaystyle {\int }_a^b}S(x)\mathit{dx}$

とおくとき，$V$を$a\text{，}$$b\text{，}$$h\text{，}$$T$を用いて表せ．ただし，$0<a<b\leqq h$とする．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に，$2$点$\mathrm{A}$$(2,0,3)$および$\mathrm{B}$$(0,4,3)$があり，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点である$\text{（}0<t<1\text{）．}$点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線と$y$軸との交点を$\mathrm{R}\text{，}$点$\mathrm{P}$から$z$軸に下ろした垂線と$z$軸との交点を$\mathrm{S}$とする．また，原点$\mathrm{O}$から，平面$\mathrm{QRS}$に下ろした垂線と，平面$\mathrm{QRS}$との交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を，$t$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OQRS}$の体積が最大となる$t$の値と，そのときの体積の値を求めよ．

(3)　四面体$\text{OQRS}$の体積が最大のとき，線分$\mathrm{OT}$の長さを求めよ．

【４】　媒介変数$t$を用いて，

$\{\begin{array}{l}x=\log t\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{1}{t}})\end{array}$$\text{（}t>0\text{）}$

と表される$xy$平面上の曲線を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を，$t$を用いて表せ．また，$t>1$のとき，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$の値の符号を調べよ．

(2)　曲線$C$の一部$\text{（}1\leqq t\leqq 2\text{）}$の長さを求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$y={\displaystyle \frac{5}{4}}$で囲まれた部分の面積を求めよ．