2022　静岡大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{▵ABC}$を鋭角三角形とし，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}\text{，}$半径を$R\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\mathrm{\angle OAB}=\theta$とする．また，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の長さを$R$と$\theta$を用いて表せ．

(3)　$S$を$R$と$\theta$を用いて表せ．

(4)　$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$を鋭角三角形とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．頂点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．また，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=5:3\text{，}$$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=5:2$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle AOB}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle OAB}$を求めよ．

(4)　$\mathrm{OB}=\sqrt{7}$とする．頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{BR}$の長さを求めよ．

【３】　$0$でない複素数$z$に対して，

$w=z+{\displaystyle \frac{4}{z}}$

とする．また，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$z$の極形式を$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$\text{（}r>0\text{，}$$0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とし，$w$の実部を$x\text{，}$虚部を$y$とする．このとき，$x$と$y$を$r$と$\theta$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　複素数平面上で点$\mathrm{P}(z)$が$\left|z\right|=1$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{Q}(w)$が描く図形を求め，複素数平面上に図示せよ．

(3)　$w$が実数となるための$z$の条件を求め，その条件を満たす点$\mathrm{P}(z)$の全体が表す図形を複素数平面上に図示せよ．

(4)　点$\mathrm{P}(z)$が(3)の図形上を動くとする．点$\mathrm{R}(\alpha )$が$l\alpha -(4+6i)|=1$を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{PR}$の長さの最小値を求めよ．

【４】　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で関数$f_n(x)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{n}x}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{f}_2(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$f_n(x)$の導関数を求めよ．

(3)　等式

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}\{f_{n+2}(x)-f_n(x)\}\mathit{dx}$$={\displaystyle \frac{2^n}{n+1}}\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{f}_n(x)\mathit{dx}$

が成り立つことを示せ．

(4)　曲線$y=f_4(x)$と$x$軸，$y$軸および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$x\geqq 1$の範囲で関数$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{\log x}}{x}}$を考える．ただし，$\log$は自然対数とする．次の問いに答えよ．なお，必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$が成り立つことを使ってもよい．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，凹凸および変曲点を求める必要はない．また，$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$M>1$に対して，曲線$y=f(x)$と直線$x=1\text{，}$$x=M$および$x$軸で囲まれる図形を$F(M)$とするとき，$F(M)$の面積$S(M)$を$M$を用いて表せ．

(3)　(2)の$F(M)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(M)$を$M$を用いて表せ．

(4)　(2)，(3)の$S(M)\text{，}$$V(M)$について，極限$\underset{M\to \infty }{\lim }S(M)\text{，}$$\underset{M\to \infty }{\lim }V(M)$の収束，発散をそれぞれ調べよ．なお，収束する場合は極限値も求めよ．

【１】　平行六面体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，面$\mathrm{AEFB}\text{，}$$\mathrm{BFGC}$は$1$辺の長さが$1$の正方形であり，面$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{\angle BAD}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のひし形である．線分$\mathrm{ED}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{EG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m$は$0<m<1$を満たす実数とする．$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$m$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの$m$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$を鋭角三角形とし，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}\text{，}$半径を$1\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\mathrm{\angle OAB}=\theta$とする．また，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(3)　$S=a+b\sin 2\theta +c\cos 2\theta$となるような$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　$p\text{，}$$q$を正の実数とする．関数$f(x)=x^3-3p{x}^2+3qx$は$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．また，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1) $\alpha +\beta \text{，}$$\alpha \beta$を$p\text{，}$$q$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　点$({\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}},f({\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\left)\right)$における曲線$C$の接線$l$の方程式を$\alpha$と$\beta$を用いずに表せ．

(3)　(2)で求めた接線$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$から曲線$C$へ引いた接線のうち$l$とは異なるものを$m$とする．接線$m$の方程式を求めよ．

(4)　(3)で求めた接線$m$と曲線$C$との接点を$\mathrm{Q}$とする．(3)の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$と曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．