2022　静岡大学　後期MathJax

【１】　$7$年に一度大発生するセミ$\mathrm{A}$と，$11$年に一度大発生するセミ$\mathrm{B}$と，$13$年に一度大発生するセミ$\mathrm{C}$がいる．今年を西暦$2022$年とする．セミ$\mathrm{A}$は$2$年前に，セミ$\mathrm{B}$は$5$年前に，セミ$\mathrm{C}$は$1$年前にそれぞれ大発生している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　今年以降にセミ$\mathrm{A}$が大発生する年（西暦）を自然数$n$を用いて表せ．

(2)　今年以降にセミ$\mathrm{A}$とセミ$\mathrm{B}$が同時に大発生する年（西暦）を自然数$k$を用いて表せ．

(3)　セミ$\mathrm{A}\text{，}$セミ$\mathrm{B}\text{，}$セミ$\mathrm{C}$が今年以降初めて同時に大発生するのは西暦何年か．

【２】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{8n{a}_n+3}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対して，$a_n>0$であることを示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$おくとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．

(3)　$c_n=b_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=2$とする．また，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$が成り立つような実数$s\text{，}$$t$を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円上の点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BC}$が垂直になるようにとる．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$と異なるとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=u\overrightarrow{b}+v\overrightarrow{c}$が成り立つような実数$u\text{，}$$v$を求めよ．

【４】　$\alpha$を$0<\alpha <1$を満たす実数とし，$\theta$を$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．座標平面において，$\theta \ne 0$のとき，点$\mathrm{A}$$(-1,0)$を通り，傾きが${\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$の直線を$l\text{，}$点$\mathrm{B}$$({\tan }^2,0)$を中心とする半径$\mathrm{AB}$の円を$C\text{，}$直線$l$と円$C$との交点のうち$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$を$(1-\alpha ):\alpha$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$\theta =0$のとき，直線$l$は直線$x=-1$に，点$\mathrm{E}$は点$\mathrm{A}$に一致すると定める．$\theta$が区間$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を動くとき，点$\mathrm{E}$の描く図形を$P$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{E}$の座標は$(2(1-\alpha ){\tan }^2\theta -1,2(1-\alpha )\tan \theta )$であることを示せ．

(2)　図形$P$は放物線であることを示し，その方程式を求めよ．

(3)　放物線$P$の焦点の$x$座標を$r(\alpha )$とし，直線$x=r(\alpha )$と，放物線$P$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(\alpha )$とする．このとき，$S(\alpha )=1$を満たす$\alpha$が存在することを示せ．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とし，$k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$に対して

$x_k={\displaystyle \frac{n^2+2k^2}{n^2+k^2}}\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{n}}\text{，}$$y_k={\displaystyle \frac{n^2+2k^2}{n^2+k^2}}\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{n}}\text{，}$

とおく．座標平面上に点${\mathrm{P}}_k$$(x_k,y_k)$を定め，線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1+2x^2}{1+x^2}}$は$0\leqq x\leqq 1$において単調に増加することを示せ．

(2)　$k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$に対して，$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{P}}_k$の面積は${\displaystyle \frac{1}{2}}|x_{k-1}{y}_k-x_k{y}_{k-1}|$であることを示せ．

(3)　$S_n$を(1)の$f(x)$を用いて表せ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【２】　$c$を実数とする．関数$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+c$が$f(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{9}})=0$を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　等式$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$が成り立つことを示せ．

(2)　$c$の値を求めよ．

(3)　$f(x)$の増減と極値を調べ，$y=f(x)$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$のグラフの概形を描け．

(4)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{9}}>0.9$が成り立つことを示せ．

【４】　$x>0$で定義された連続関数$f(x)$に対して，

$(e^x-1)f(x)=e^x+{\displaystyle {\int }_1^x}{e}^{t}f(t)\mathit{dt}$

が成り立つとする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(1)$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフを$C$とする．$C$上の点$(2,f(2))$における接線$l$と$C$との共有点は$(2,f(2))$のみであることを示せ．

(4)　不等式$\log (e+1)>{\displaystyle \frac{e^2}{e^2-1}}$が成り立つことを示せ．ただし，$\log$は自然対数とする．

【１】　媒介変数$t$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$を用いて

$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}$

と表される曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\left({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}\right)}^2$を求めよ．

(2)　曲線$C$の長さ$l$を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　$t$を実数とし，$i$を虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　等式${\left|z\right|}^2-2z-ti=0$を満たす複素数$z$が$2$つ存在するための$t$の範囲を求めよ．

(2)　$t$が(1)で求めた範囲を動くとき，次の$2$つの式を同時に満たす点$\mathrm{P}(z)$の描く図形$C$を複素数平面上に図示せよ．ただし，$\bar{z}$は$z$に共役な複素数とする．

$\{\begin{array}{l}{\left|z\right|}^2-2z-ti=0\\ z+\bar{z}>2\end{array}$

(3)　点$\mathrm{P}(z)$が(2)で求めた図形$C$上を動くとき，$w=z^2-2z$で表される点$\mathrm{Q}(w)$の描く図形$C$を複素数平面上に図示せよ．