2022　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　不等式

$1\leqq 2^y\leqq x\leqq 2022$

を満たす整数$x\text{，}$$y$の組の個数を求めよ．

【２】　$n$を$1$以上の自然数とする．$0\leqq k\leqq n$を満たす自然数$k$に対し，

${}_{n}C_k={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$

と定める．ただし，$0!=1$とする．

問１　$k$が$1\leqq k\leqq n$を満たす自然数とするとき，次の等式を示せ．

${}_{n}C_{k-1}+{}_{n}C_k={}_{n+1}C_k$

問２　次の等式がすべての$1$以上の自然数$n$について成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

$3^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{2}^k{}_{n}C_k$

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,3)$があり，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が定める平面は，点$\mathrm{P}$$(1,1,1)$を通っているとする．ただし，$a>0\text{，}$$b>0$とする．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=p\overrightarrow{\mathrm{CA}}+q\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と表したとき，$p\text{，}$$q$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

問２　$a\text{，}$$b$の間に成り立つ関係を等式を用いて表せ．

問３　四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最小値を求めよ．

【４】問１　三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．

$2\sin \alpha \sin \beta$$=\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )$

問２　$\alpha ={\displaystyle \frac{2k+1}{2n^2}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{1}{2n^2}}$として問１の等式を用いることで，次の和を求めよ．

${\displaystyle \sum _{k=0}^n}\{\sin ({\displaystyle \frac{2k+1}{2n^2}})\sin {\displaystyle \frac{1}{2n^2}}\}$

問３　問２の結果を用いて，次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^n}\sin \left({\displaystyle \frac{2k+1}{2n^2}}\right)$

【５】　不等式

${(x-1)}^2+y^2\leqq 4$

で表される座標平面の領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．