2022　滋賀大学　前期MathJax

【１】　$x\text{，}$$y$を実数とし，$x^2-xy+y^2=1$を満たすとする．$t=x+y$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$xy$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$の値の範囲を求めよ．

(3)　$2x+3xy+2y$の最大値および最小値と，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$について，次の問いに答えよ．

(1)　等式

${\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{BD}}\right|}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}|}^2$$={\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right|}^2$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{DA}$が平行で，$4$つの辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CD}=4\text{，}$$\mathrm{DA}=1$であるとき，${\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BD}}^2$の値を求めよ．

(3)　命題$\mathrm{P}$および命題$\mathrm{Q}$をそれぞれ次のように定める．

命題$\mathrm{P}$「四角形$\mathrm{ABCD}$において，$4$つの辺の長さをそれぞれ$2$乗したものの和と，$2$つの対角線の長さをそれぞれ$2$乗したものの和が等しい」

命題$\mathrm{Q}$「四角形$\mathrm{ABCD}$は長方形である」

　このとき，命題$\mathrm{P}$は命題$\mathrm{Q}$が成り立つための必要条件か，十分条件か，必要十分条件か，あるいはそのいずれでもないかを，理由をつけて答えよ．

【３】　異なる$3$つのゲーム$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，$3$つすべて成功すれば賞品がもらえるというアトラクションがある．各ゲームで成功するか失敗するかは独立であり，その成功確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{10}}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　各ゲームを$1$回ずつ行う場合を考える．賞品がもらえる確率を求めよ．

(2)　各ゲームを$1$回ずつ行う場合を考える．賞品がもらえなかったとき，各ゲームで失敗している確率をそれぞれ求めよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をこの順で$1$回ずつ行うこととし，途中で失敗したらそれ以降のゲームは行わない場合を考える．賞品がもらえなかったとき，各ゲームで失敗している確率をそれぞれ求めよ．

【４】　$0\leqq x\leqq 6$のとき，関数$f(x)$を$f(x)=x+2|x-3|-6$と定め，関数$g(x)$を

$g(x)=|{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}|+|{\displaystyle {\int }_x^6}f(t)\mathit{dt}|$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$g(3)$および$g(6)$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$g(x)$を求めよ．

(3)　曲線$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３B】　$1$から$9$までの整数が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードから，$6$枚のカードを同時に抜き出すという試行について，次の問いに答えよ．なお，必要に応じて付表の正規分布表を利用してよい．

(1)　この試行において，抜き出された$6$枚のカードに書かれた整数のうち最小のものを$X$とする．$X$の期待値と標準偏差を求めよ．

(2)　この試行において，抜き出された$6$枚のカードに書かれた整数のうち最小のものが$1$であるという事象を$A$とする．この試行を$200$回繰り返すとき，事象$A$の起こる回数が$125$回以下である確率を，正規分布による近似を用いて求めよ．

【４D】　$N$を自然数とし，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^N}\cos (2k\pi x)$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$m\text{，}$$n$を整数とするとき，${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\cos (mx)\cos (nx)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}\cos (4\pi x)f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\cos }^4(x)f(x)\mathit{dx}$を求めよ．