2022　滋賀大学　後期経済学部MathJax

【１】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$とし，関数$f(x)$を

$f(x)=\sin x-\cos x+\sin 2x+2$

と定める．$t=\sin x-\cos x$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$の値の範囲を求めよ．

(3)　$k$を定数とする．方程式$f(x)=k$が異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(4)　$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とおくとき，$\sin a$の値を求めよ．

【２】　$t$を定数とする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を

$\mathrm{P}(-t^2+2t,2t^2+t)\text{，}$

$\mathrm{Q}(t+2,3t-4)\text{，}$

$\mathrm{R}(-t^2+3t+1+2\sqrt{3},2t^2-t-2+\sqrt{3})$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きの単位ベクトルを求めよ．

(2)　$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{PQ}$上にないことを示せ．

(3)　$\mathrm{\angle RPQ}$が鋭角となる$t$の値の範囲を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵PQR}$が鋭角三角形となる$t$の値の範囲を求めよ．

【３】　$1$枚のコインを投げる試行を繰り返し，$n$回目の試行において，表が出たとき$a_n=1\text{，}$裏が出たとき$a_n=0$とする．$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots \text{，}$$a_{n-1}\text{，}$$a_n$から得られる整数$M_n$を

$\begin{array}{ll}{M}_n& ={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{2}^{n-k}{a}_k\\ & =2^{n-1}{a}_1+2^{n-2}{a}_2+\cdots +2^1{a}_{n-1}+2^0{a}_n\end{array}$

と定める．$M_n$を$3$で割った余りが$1$である確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$M_1\text{，}$$M_2\text{，}$$M_3$のとり得る値をそれぞれすべて求めよ．

(2)　$P_1\text{，}$$P_2\text{，}$$P_3$をそれぞれ求めよ．

(3)　$M_n$が$3$の倍数であるとき，$M_{n+1}$を$3$で割った余りが$1$になる確率を求めよ．

(4)　$P_n$を$n$を用いて表せ．

【４】　$a$を定数とする．整式$f(x)$が

$f(x)=a{\displaystyle {\int }_0^1}xtf(t)\mathit{dt}$$+{\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)\mathit{dt}+{\displaystyle {\int }_x^1}(t-x)\mathit{dt}$

を満たしている．$b={\displaystyle {\int }_0^1}tf(t)\mathit{dt}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)\mathit{dt}+{\displaystyle {\int }_x^1}(t-x)\mathit{dt}$を求めよ．

(2)　$b$を$a$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=1$のとき，$a$の値および$f(x)$を求めよ．