2022　大阪教育大学　前期

【１】　曲線$x^2-2y^2=1$上の点$(u,v)$は各成分$u\text{，}$$v$が自然数とする．次を証明せよ．

(1)　$u\ne 1\text{，}$$2$

(2)　$u=3$のときは$v=2$

(3)　$u\geqq 4$とし，

$\{\begin{array}{l}s=3u-4v\\ t=-2u+3v\end{array}$

とする．

(ⅰ)　$u>\sqrt{2}v$かつ$3v>2u$

(ⅱ)　$(s,t)$も曲線$x^2-y^2=1$上の点で，その成分$s\text{，}$$t$は自然数である．

(ⅲ)　$u>s$

(ⅳ)　$u+v\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})(s+t\sqrt{2})$

(4)　成分がともに自然数である点$(u,v)$が曲線$x^2-2y^2=1$上にあるための必要十分条件は

$u+v\sqrt{2}={(3+2\sqrt{2})}^n$

をみたす自然数$n$が存在することである．

【２】　複素数平面上において，点$\mathrm{P}(z)$$\text{（}z\ne 0\text{）}$に対して，点$\mathrm{Q}(w)$を次式で定める．

$w={\displaystyle \frac{1}{2}}(3z+{\displaystyle \frac{1}{z^3}})$

(1)　点$\mathrm{P}(z)$が円$C=\{\cos \theta +i\sin \theta |0\leqq \theta <2\pi \}$上の点のとき，$w$を$\cos \theta \text{，}$$\sin \theta$を用いて表せ．

　点$\mathrm{P}(z)$が円$C$の$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分を動くときの点$\mathrm{Q}(w)$の軌跡を$K$とする．

(2)　$w=x+yi$$\text{（}x\text{，}$$y$は実数）とおく．曲線$K$の方程式を$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{Q}(w)$が曲線$K$全体を動くとき，$\left|w\right|$の最大値および最小値を求めよ．さらに$\left|w\right|$の最大値および最小値を与える$z$の値を求めよ．

【３】　$f(x)$は微分可能な関数とする．

(1)　次の等式が成り立つ定数$A$を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(\sin x)\mathit{dx}=A{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(\sin x)\mathit{dx}$

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{x\sin x}{8+{\sin }^{2}x}}\mathit{dx}$を計算せよ．

(3)　次の等式を示せ．ただし，$C$は積分定数とする．

${\displaystyle \int }{e}^x(f(x)+f^{\prime }(x))\mathit{dx}=e^{x}f(x)+C$

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{e}^x{\displaystyle \frac{\sqrt{1+\sin 2x}}{1+\cos 2x}}\mathit{dx}$を計算せよ．