2022　大阪教育大学　後期

【１】　$1$辺の長さが$1$の正十二面体のひとつの頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$となる頂点を${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_3\text{，}$正五角形$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2{\mathrm{B}}_2$と辺${\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2$を共有する正五角形を${\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1\mathrm{E}{\mathrm{D}}_2{\mathrm{C}}_2$とする．$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{B}}_2}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{B}}_3}=\overrightarrow{c}$とする．

　次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{A}$から最も遠い頂点を$\mathrm{F}$とするとき，四角形$\mathrm{AEF}{\mathrm{B}}_3$は長方形であり，直線${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2$は四角形$\mathrm{AEF}{\mathrm{B}}_3$の定める平面に垂直であることは用いてよい．

(1)　${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_2$と${\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_1$の交点を$\mathrm{P}$とするとき$\mathrm{▵}\mathrm{A}{\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2$と$\mathrm{▵}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\mathrm{P}$が相似であることを示せ．

(2)　大きさ$t=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$を求めよ．

(3)　内積$u=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{C}}_1}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(5)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{{\mathrm{C}}_1\mathrm{E}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と$x\text{，}$$y\text{，}$$z\text{，}$$t\text{，}$$u$を用いて表せ．

(6)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\leqq \sin x\leqq x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+{\displaystyle \frac{x^5}{120}}\text{，}$$1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq \cos x\leqq 1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^4}{24}}$

(2)　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x-x\cos x}{x^3}}$

(3)　$0<\theta <2\pi$のとき，次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．

$\sin \theta +\sin 2\theta +\cdots +\sin n\theta$$={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{n\theta }{2}}\sin {\displaystyle \frac{(n+1)\theta }{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}}$

(4)　$I_n=n^2\{{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sin x\mathit{dx}-{\displaystyle \frac{\pi }{n}}(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}+\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$$+\cdots +\sin {\displaystyle \frac{n\pi }{n}}\left)\right\}$とするとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$a\text{，}$$b$は$a<b$をみたし，関数$f(x)\text{，}$$g(x)$は連続とする．すべての実数$t$に対して，

${\displaystyle {\int }_a^b}{(tf(x)+g(x))}^2\mathit{dx}\geqq 0$

であることを用いて，次の不等式が成り立つことを証明せよ．等号が成立する必要十分条件を述べてそれも証明せよ．

${({\displaystyle {\int }_a^b}f(x)g(x)\mathit{dx})}^2$$\leqq ({\displaystyle {\int }_a^b{f(x)}^2\mathit{dx})({\displaystyle {\int }_a^b}{g(x)}^2\mathit{dx})}$

(2)　次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{{(e-1)}^2}{e}}<{\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{1}{1+\log x}}\mathit{dx}$