2022　奈良女子大学　前期

2022-10631-0101

2022　奈良女子大学　前期

理学部

易□　並□　難□

【１】　座標平面上に点 $O$ $(0, 0) ，$ 点 $A$ $(0, 7) ，$ 点 $B$ $(12, 2) ，$ 点 $C (0, c)$ をとる． $∠OAB$ の二等分線が $x$ 軸と交わる点を $P$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点 $P$ の座標を求めよ．

(2)　三角形 $ABC$ の内心と点 $P$ が一致するとき， $c$ の値を求めよ．

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理学部

易□　並□　難□

【２】　 $2$ つの整数 $m ，$ $n$ を用いた $3$ 次方程式

$x^{3} + m x^{2} + n x + 1 = 0$

が実数解 $r$ と虚数解 $p + q i$ をもつとする．ただし， $p$ は実数， $q$ は $0$ でない実数， $i$ は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．

(1)　この $3$ 次方程式は $p - q i$ を解にもつことを示せ．

(2)　 $r (p^{2} ＋ q^{2}) = - 1$ であることを示せ．

(3)　 $| p + q i | = 1$ となる整数の組 $(m, n)$ をすべて求めよ．

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理学部

易□　並□　難□

【３】　 $e$ を自然対数の底とする．座標平面上に関数 $y ＝ e^{x}$ のグラフ $G$ がある． $a$ を実数とし， $G$ 上に点 $P$ $(a, e^{a}) ，$ 点 $Q$ $(a ＋ 1, e^{a + 1})$ をとる．点 $P ，$ $Q$ における $G$ の接線をそれぞれ $l_{1} ，$ $l_{2}$ とし， $l_{1}$ と $l_{2}$ の交点を $R$ とする．さらに， $G$ と直線 $PQ$ で囲まれる部分の面積を $S_{1}$ とし，三角形 $PQR$ の面積を $S_{2}$ とする．以下の聞いに答えよ．

(1)　直線 $l_{1}$ の方程式を $a$ を用いて表せ．

(2)　点 $R$ の $x$ 座標を $a$ を用いて表せ．

(3)　 $S_{1}$ を $a$ を用いて表せ．

(4)　 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ の値を求めよ．

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生活環境,工学部

易□　並□　難□

【４】　一辺の長さが $1$ の立方体がある．この立方体の $8$ 個の頂点から異なる $3$ 個を選び，これらを頂点とする三角形をつくる．以下の問いに答えよ．

(1)　三角形は全部で何個できるか．

(2)　直角三角形は全部で何個できるか．

(3)　面積が $\frac{7}{10}$ 以上である三角形は全部で何個できるか．

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生活環境,工学部

易□　並□　難□

【５】　 $2$ つの三角形 $ABC ，$ $DEF$ において， $∠ACB ＝ ∠DFE = 90 °$ であり， $∠BAC$ は $∠EDF$ の $2$ 倍に等しいとする．さらに，三角形 $ABC$ の面積と三角形 $DEF$ の面積は等しいとする． $x = AB ，$ $y = AC ，$ $a ＝ DE ，$ $b = DF$ とおく．以下の聞いに答えよ．

(1)　 $a$ を $x$ と $y$ を用いて表せ．また， $b$ を $x$ と $y$ を用いて表せ．

(2)　 $a ＝ 5 \sqrt{14} ，$ $b = 4 \sqrt{14}$ のとき， $x$ と $y$ の値を求めよ．

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生活環境,工学部

易□　並□　難□

【６】　 $f (x) = | x^{2} - 1 | + 2 x$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数 $y = f (x)$ のグラフをかけ．

(2)　曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

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